三維球面

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超球面(hypersphere)的平行線(parallels)（紅色）、 子午線(meridians)（藍色)以及超子午線(hypermeridians)（綠色）的立體投影法(Stereographic projection)。 因為立體投影法的共形特性，這些曲線彼此在交點上彼此正交（圖中黃色點），如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓；交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑（亦即：直線）。

數學中，三維球面（英文常寫作3-sphere）是球面在高維空間中的類比客體。它由四維歐幾里得空間中與一固定中心點等距離的所有點所組成。尋常的球面（或者說二維球面)是一個二維表面，而三維球面是一個具有三個維度的幾何客體，這樣的幾何客體都可以歸類為三維流形(3-manifold)。

三維球面也稱作超球面(hypersphere)，雖然這個辭彙可以更廣義地代表任何n維球面，而n ≥ 3。

[编辑] 定義

以座標表示，三維球面具有中心(C₀, C₁, C₂, C₃)及半徑r 乃在R⁴符合條件

的所有點的集合： (x₀, x₁, x₂, x₃)。

三維球面球心在原點，而半徑是1的稱為單位三維球面(unit 3-sphere)，常寫作S³：

。

方便性上，常將R⁴另外以複數C²或四元數(quaternions)H等價表示。單位三維球面則可寫為

或

。

最後一個表示法常是最有用的。其將三維球面描述為所有單位四元數——絕對值為1的四元數——的集合。正如同所有單位複數的集合在複數幾何是重要的，所有單位四元數的集合在四元數幾何中也是重要的。

[编辑] 外部連結

• （英文）埃立克·魏爾斯史甸在MathWorld中所描述之Hypersphere。

注意：此篇文章使用了n維空間的球面，稱作n維球面(n-sphere)。

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