不是欧氏环的主理想环

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定义：设 $m\in \mathbb{Z},m\ne 0,1$ ，并且m无平方因子。定义

$R_{m}=\left\{ a+b\sqrt{m}\left| a,b\in \mathbb{Z} \right. \right\}\;m\equiv 2,3\left( \!\bmod \!4 \right)$ $R_{m}=\left\{ \frac{1}{2}\left( a+b\sqrt{m} \right)\left| a,b \right. \right.\in \mathbb{Z}$ a,b的奇偶性相同 $\left. {} \right\}\;m\equiv 1\left( \!\bmod \!4 \right)$

$R - 19$ 是主理想环但不是欧氏环。

$R m$ 是一个整环，并且 $\mathbb{Q}\left( m \right)=\left\{ r+s\sqrt{m}\left| r,s\in \mathbb{Q} \right. \right\}$

是 $R m$ 的商域。

定义把 $\mathbb{Q}\left( m \right)$ 的一个二次域，R_m叫做 $\mathbb{Q}\left( m \right)$ 的代数整环。

- 附：若是域F的一个扩域E作为F上的向量空间有维数n，那么n叫做扩域E在F上的次数。

定义对于 $x=r+s\sqrt{m}\in \mathbb{Q}\left( m \right)$ ，定义的范数N(x)为 $N\left( x \right)=r^{2ms^{2}$ }-。

  我们有

命题1：

对任意 $x\in R_{m}$ ，有 $N(x)\in \mathbb{Z}$ 。
$u\in U\left( R_{m} \right)$ 当且仅当 $N\left( u \right)=\pm 1$ 。
$U\left( R_{-1} \right)=\left\{ \pm 1,\pm i \right\};U\left( R_{-3} \right)=\left\{ \pm 1,\frac{\pm \left( 1\pm \sqrt{-3} \right)}{2} \right\}$ ；当 $m<0,m\ne -1,-3$ 时， $U\left( R_{m} \right)=\left\{ \pm 1 \right\}$ 。

命题（Dedekind and Hass,见[3]）设m是一个无平方因子的整数， $m\ne 0,1$ ，如果对于任意的非零元 $x,y\in R_{m}$ ，只要 $y\nmid x$ 且 $\left| N\left( x \right) \right|\ge \left| N\left( y \right) \right|$ ，就有 $u,v\in R_{m}$ ，使得 $xu\ne yv$ 并且 $\left| N\left( xu-yv \right) \right|<\left| N\left( y \right) \right|$ ，那么 $R m$ 是一个主理想环。

由此可以推出 $R - 19$ 是主理想环.

命题2 如果 $m = 3,2, - 1, - 3, - 7, - 11$ 那么代数整环 $R m$ 是欧氏环.

 证明概要: 令表示 $R m$ 中全体非零元素集合.      定义映射如下:

$\begin{align} & \varphi :r\to \left| N\left( r \right) \right|\ \left( r\in R_{m}^{*} \right)\ m=3,2,-1,-2 \\ & \varphi :r\to N\left( r \right)\ \left( r\in R_{m}^{*} \right)\ m=-3,-7,-11 \\ \end{align}$