丟番圖逼近

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在數論中，丟番圖逼近探討以實數逼近有理數的課題，逼近的程度通常以該有理數的分母衡量。

[编辑] 劉維爾定理與 Roth 定理

丟番圖逼近理論建基於劉維爾關於代數數逼近的定理，該定理簡述如下：

定理 . 設無理數 $α$ 是個整係數 $n$ 次多項式的根，則存在常數 $A > 0$ ，使得對任意兩整數 $p, q > 0$ 恆有

$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| > \frac{A}{q^n}$

劉維爾定理可用以直接構造超越數。在這之前，數學家們已藉連分數導出關於平方根與其它二次無理數的許多逼近性質。這個結果後來由 Axel Thue 等人改進，並導致 Roth 定理：將劉維爾定理中的指數 $n$ 由代數數的次數縮減到任意的 2+ε（其中 ε>0）；之後 Schmidt 將此推廣到同步逼近。這些證明頗困難，而且不能得到明確的上界，這在應用上是一大缺憾。

[编辑] 均勻分佈

另一個主題是模 1 的均勻分佈理論。取一實數序列 $a_1, a_2, \ldots$ 並考慮其真分數部份；或者抽象地說是考慮 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ ，這在拓撲學上是個一維圓環 $\mathbb{S}^1$ 。對圓環上的任一段區間，我們研究有限集 $\{a_n : n \leq N \}$ 中有多大比例落在該區間，並考慮此比例與區間長度之關係。「均勻分佈」意味著當 $N \rightarrow +\infty$ ，此比例將趨近我們「期望」的值。Hermann Weyl 證明了這等價於該序列元素的指數和之上界，這表明了丟番圖逼近與指數和相消的一般問題密切相關，後者在解析數論的誤差項估計中無所不在。