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中值定理

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3个分类: 微积分 | 数学定理 | 數學小作品

微积分学
微积分基础函数初等函数极限数列夹挤定理连续间断点一元微积分导数与微分高阶导数介值定理中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式洛必达法则导数的函数应用极值凹凸性曲率积分不定积分积分表三角函数积分表反函数积分表反双曲函数积分表对数函数积分表指数函数积分表无理函数积分表有理函数积分表定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式多元函数积分重积分二重-三重-多重广义重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程差分方程拉普拉斯变换法微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

中值定理是微分学基本定理，内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理^[1]等。

目录

1 内容
2 证明
3 积分中值定理
- 3.1 证明
4 参见
- 4.1 注释

[编辑] 内容

如果函数 $f (x)$ 满足

在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
在开区间 $(a, b)$ 内可导，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式

$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$

成立。

[编辑] 证明

令 $g(x)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)$ 。那么

$g$ 在 $[a, b]$ 上连续，
$g$ 在 $(a, b)$ 上可导，
$g (a) = g (b) = 0$ 。

由罗尔定理，存在一点 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $g'(ξ) = 0$ 。即 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。

[编辑] 积分中值定理

设 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 为一连续函数， $g:[a,b]\rightarrow \mathbf R$ 为一正的可积函数，那么存在一点 $\xi\in [a,b]$ 使得

$\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$ 。

[编辑] 证明

因为 $f$ 是闭区间上的连续函数， $f$ 取得最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。于是

$mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)$ 。

对不等式求积分，我们有

$m\int_a^b g(x)\,dx\leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int_a^b g(x)\,dx$ 。

若 $\int_a^b g(x)\,dx=0$ ，则 $\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0$ 。 $ξ$ 可取 $[a, b]$ 上任一点。

设 $\int_a^b g(x)\,dx>0$ ，那么

$m\leq \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M$ 。

因为 $m\leq f(x)\leq M$ 是连续函数，则必存在一点 $\xi\in [a,b]$ ，使得

$f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}$ 。

[编辑] 参见

[编辑] 注释

↑ 《数学手册》编写组，《数学手册》，高等教育出版社，1979年。

这是一个与数学相关的小作品，您可以帮助维库扩充其内容。

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