九点圆

三角形的九點圓和歐拉線。黃點為九點圓的圓心，H, G, Ω分別是三角形垂心、重心、外心。

九点圆(nine-points circle) 又称费尔巴哈圆或欧拉圆 。三角形三边上的中点、 三条高的垂足 、 垂心与三 顶点的连线的中点，这九个点必在同一个圆上。该圆即三角形的九点圆。圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点 。平面 几何（欧氏几何）中著名的圆 。

三角形九点圆的半径等于三角形外接圆半径的一半。早在1765年欧拉就证明了垂足三角形和中位三角形有共同的外接圆，因此人们常把发现九点圆的功绩归于欧拉，故有的著作中把九点圆称为欧拉圆。

最早提出九点圆的是英国的培亚敏•俾几，问题发表在1804年的一 本英国杂志上，19世纪初法国数学家庞斯莱也发现了九点圆，后来由热尔岗和彭赛列于1820年和1821年间发表，九点圆的名称是彭赛列给出的。 费尔巴哈在1822年也发现了九点圆，证明发表在《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里，因而通常也把九点 圆称为费尔巴哈圆。

在平面幾何中，對任何三角形ABC都可以構造出九點圓（又名歐拉圓）。九點圓穿過三角形的三邊的中點I_i，三高的垂足H_i，和頂點到垂心的三條線段的中點J_i，因而得名。九點圓定理指出對任何三角形，這九點必定共圓。而九點圓的圓心則在歐拉線上，在垂心H到外心Ω的線段的中點。它的半徑是外接圓的一半。九點圓和三角形的內接圓和旁切圓相切。

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