五次方程
维库，知识与思想的自由文库
- x5 − 4x4 + 2x3 − 3x + 7 = 0
在已知係數的情形下，找多項式的解—代入後可使方程式等號兩邊相等的x—一直是個重要的數學問題。一次方程和二次方程很快就找到公式解，過一陣子之後三次方程及四次方程也有了解答，但沒有人知道五次方程是否有公式解，相形之下，五次方程顯得格外的困難。
後來，Paolo Ruffini 和 尼爾斯·阿貝爾 (Niels Abel) 證明了一般的五次方程，沒有可由 +, -, ×, ÷ 及根號組合而成的公式解，一般常常認為，一般的五次方程沒有公式解存在，這是不正確的。利用一些超越函數，如 theta function 或 Dedekind eta function 即可找到五次方程的公式解。另外，若我們只需要求得數值解，可以利用數值方法（如牛頓法）得到相當理想的解答。
證明一般四次以上的方程式無根式解的人是埃瓦裡斯特·伽羅瓦 (Évariste Galois)，他巧妙的用群論來處理上述的問題。
[编辑] 布靈·杰拉德正規式
若有一五次方程式如下
- x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 = 0
則可以藉由以下的轉換
- y = x4 + b1x3 + b2x2 + b3x + b4
得到一個y的五次多項式，上述的轉換稱為契爾恩豪森轉換（Tschirnhaus transformation），藉由特別選擇的係數bi，可以使y4, y3, y2 的係數為0，得到以下的方程式：
- y5 + px + q
以上的化簡是由布靈（Erland Samuel Bring）所發現，後來杰拉德（George Birch Jerrard|Jerrard）也獨立發現此化簡方法，因此上式稱為布靈·杰拉德正規式（Bring-Jerrard normal form）。
一開始先用 x 替換 x - a1/5 ，可以消去四次方項。接下來利用契爾恩豪森想到的方式，令y = x2 + px + q 而且找出適當的 p, q 值，使轉換後的x4 及 x3 項係數均為零。滿足上述條件的 p, q 值如下：
可使下式轉換後，的x4 及 x3 項係數均為零：
- x5 + cx3 + dx2 + ex + f
接下來可以用以下的替換式：
y = x4 + b1x3 + b2x2 + b3x + b4
代入下式：
- x5 + dx2 + ex + f
使x2 項係數也為零。計算替換式的係數時，不需求解三次以上的方程式。只需要求b1, b2 及 b4 的平方根，和 b3 的立方根。若用像是Maple或Mathematica的電腦輔助軟體，可以輕易地計算出通式。
若以函數的觀點來看，以下方程式的解
- x5 + ux + v = 0
有二個自變數 u 和 v。不過可以再化簡方程式，使方程式解是單一自變數的函數。若令
則方程式可以化簡為以下的形式：
- x5 − 5x − 4t = 0
方程式的解 x 是單一變數 t 的函數。
