交換環譜

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在抽象代數學和代數幾何學中，一個交換環 $A$ 的譜是指其素理想全體形成的集合，記作 $Spec(A)$ 。它被賦予扎里斯基拓扑和結構層，從而成爲局部賦環空間。

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。

[编辑] 扎里斯基拓撲

對於交換環 $A$ 裡的任一理想 $\mathfrak{a}$ ，置 $V(\mathfrak{a}) := \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{p} \supset \mathfrak{a} \}$ 。容易證明下述性質：

$V(\mathfrak{ab}) = V(\mathfrak{a}) \cup V(\mathfrak{b})$
$V(\sum_i \mathfrak{a}_i) = \bigcap_i V(\mathfrak{a}_i)$
$V(\mathfrak{a}) \subset V(\mathfrak{b})$ 若且唯若 $\sqrt{\mathfrak{a}} \supset \sqrt{\mathfrak{b}}$

因此我們可以在 $S p e c (A)$ 上定義一個拓撲結構，使得其閉子集恰為形如 $V(\mathfrak{a})$ 的子集，稱之扎里斯基拓撲。

一般而言，扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質。

[编辑] 結構層

考慮札裡斯基拓撲下的下述預層：

$\mathcal{O}_{0,A} : U \mapsto \varprojlim_{\mathfrak{p} \in U} A_{\mathfrak{p}}$

令 $\mathcal{O}_A$ 為其層化，稱作 $Spec(A)$ 的結構層。顯然有 $\mathcal{O}_{A,\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$ ，故 $(\mathrm{Spec}(A),\mathcal{O})$ 構成一個局部賦環空間。

一個元素 $a \in A$ 給出 $\mathcal{O}_A$ 的截面，事實上可以證明 $\Gamma(\mathrm{Spec}(A), \mathcal{O}_A) = A$ 。

[编辑] 交換環譜間的態射

設 $A, B$ 為交換環， $\phi: A \rightarrow B$ 為一同態，則可定義一個映射 $f(\mathfrak{p}) = \phi^{-1}(\mathfrak{p})$ ，這是從 $Spec(B)$ 到 $Spec(A)$ 的連續映射，在結構層上則以 $a \mapsto \phi(b)$ 定義 $f^\sharp: \mathcal{O}_A \rightarrow f_* \mathcal{O}_B$ ，那麼 $(f,f^\sharp)$ 給出局部賦環空間的態射。

反之，任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

[编辑] 古典觀點

令 $k$ 為代數封閉域，給定 $f_i \in k[X_1,\ldots,X_n]$ （i=1,2,...），則方程組 $f_i(x_1, \ldots, x_n) = 0$ 定義一個代數簇 $X \subset \mathbb{A}^n_k$ 。

設 $\mathfrak{a} := (f_1, \ldots, f_n) \subset k[X_1, \ldots, X_n]$ ， $A := \mathrm{k[X_1, \ldots, X_n]/\mathfrak{a}}$ 。根據希爾伯特零點定理， $X$ 的點一一對應到 $A$ 的極大理想。