代数几何
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代数几何是数学的一个分支，正如它的名字所暗示的，代数几何将抽象代数， 特别是交换代数，同几何结合起来。 它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究。代数几何以代数簇为研究对象。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。例如，三维空间中的代数簇就是代数曲线与代数曲面。代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。在多复变函数论、拓扑学、微分方程论和数论中都有应用。
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[编辑] 联立多项式的零点
在古典代数几何中，主要的研究对象是一组多项式的零点集，即同时满足一个或多个多项式方程的所有点组成的集合。 例如，在三维欧几里德空间
中的二维球面被定义为满足方程
- x2 + y2 + z2 − 1 = 0
的所有点(x,y,z)的集合。
一个 "倾斜的" 圆周在三维欧几里德空间中可以被定义为同时满足如下两个方程
- x2 + y2 + z2 − 1 = 0，
- x + y + z = 0
的所有点(x,y,z)的集合。
[编辑] 仿射簇
现在我们开始进入稍微抽象的领域。考虑一个数域 k，在古典代数几何中这个域通常是复数域C，现在我们把它推广为一个代数封闭的数域。我们定义数域 k上的 n维仿射空间
，简单讲来，它只是一些点的集合，以下为方便我们简记为
。
如果函数
可以被写为多项式，即如果有多项式p在
- k[x1,...,xn] 上，
对上的每个点
- (t1,...,tn)
都有
- f(t1,...,tn) = p(t1,...,tn)，定义这个函数是正则的。
n维仿射空间的正则函数正是数域 k上n个变量的多项式。我们将上的正则函数记为 ![k[{\mathbb A}^n]](/images/math/9/b/6/9b6b7cfb16cf94acc32c55b997201524.png)
。
[编辑] 正则函数
[编辑] 仿射簇范畴
[编辑] 射影空间
[编辑] 代數曲線和代數曲面
[编辑] 雙有理幾何與分類
[编辑] 變形理論
[编辑] 記數幾何
[编辑] 和數論及K理論的關係
[编辑] 和代數拓墣的關係
[编辑] 和黎曼幾何的關係
[编辑] 和理論物理中超對稱的關係
[编辑] 现代的观点
[编辑] 圖書介紹
代數幾何比微分幾何有趣得多. 雖然微分幾何的重要性無庸置疑,但代數幾何有更多巧妙得構思,也有更有趣的問題..這裡是幾本代數幾何的好書: (書號後是金庸小說密籍的類比,書評之後有兩個星號數.第一個是重要(趣味)性, 第二個是讀了投資報酬率 從 1 到 5 是 易 到 難(無聊到有趣) .. )
1 武當長拳( 基本功夫)
Atiyah&McDonald 的 Introduction to Commutative Algebra 和 Matsumura 的 Commutative Algebra 是代數幾何中代數部份的背景知識. 兩本書只重視代數而不提及幾何,但第一本書的習題有很多引出幾何背後意義的好問題. 事實上任何一個交換代數的定理 都有幾何意義. A&M 的書寫的很短, 但是把所有的內容都做了簡介, Matsumura 的書內容非常豐富,如果唸完她就可以開始交換代數的現代研究,可以開始看文章,這本書比 A&M 多了一些重要的章節如 "flatness" 和 "Struture 定理".
趣味性 ***
2 梯雲縱 (練了想進哪個分支都可以 ...)
Robin Hartshorne 的 Algebraic Geometry 是代數幾何的經典教科書.任何一個年紀不到五十的代數幾何學家都是學這本書長大的. 這本書是Grothendick 的 EGA 和 SGA 一部分的一個非常有系統的總結. Grothendick 的書包含的內容很齊全但是失於不實際: 也就是討論的對象過於一般有時沒有幾何意義, 這一點十分不好. 但是 Hartshorne 的書把整個 Grothendick 的 Scheme 綱領 作了一個最恰當的詮釋.這本書的習題也非常重要 不管將來對 算數幾何 或複幾何 或 更深入的代數幾何 這本書的習題都是永遠有用的.本書的菁華在前三章,很好的處理了 scheme的基礎性質,最重要的大定理是第三章的最後一節"上同調與基轉換" 定理, 是一個來自複幾何的定理. 四五章分別是曲線和曲面, 但是這兩個專題都有更好的專書介紹.
趣味性 ***
3 一套武術服飾(行走江湖 要穿衣服)
Gunning 的 Lectures on Riemann surface 或 Forster 或 Farkas 或 Jost 的 Riemann Surface: 黎曼曲面是數學的核心. 跟一切的數學分支都有重大關係. 上述四個作者的書都有相當深度. 筆者只唸過 Gunning 的, 是一本比較重視"上同調群" 的好書. 其他幾本又或重視黎曼面的"雙曲幾何" 或 "黎曼曲面的自同構" 或 "曲線上的特殊線性系", 都非常有意思. 很多中國人 還喜歡 伍鴻禧 寫的黎曼曲面引論. 但筆者並不是非常喜歡. Gunning 書的優點是把層的上同調做了很快但很詳盡的介紹,該書證明Serre對偶定理和 Riemann Roch 定理的方法使用了廣義函數,和一般的證明不大一樣,適合喜歡廣義函數多過橢圓方程的讀者.
趣味性 ***
4 全真派基本內功(一定要練)
Griffith& Haris 的 Principles in Algebraic Geometry. 這本書是經典中的經典.是複幾何的基本教材. 這本書的每一章都寫的很完美. 第一章是Hodge 理論..是複幾何中最深奧的理論. 第二章是Kodaira 嵌入定理 複流形的嵌入比實流形的嵌入有趣很多. 第三章是 current 和 spectral sequence, 是很現代的工具. 第四章 是曲面論 . 寫的很詳盡 但是有更好的書(見6). 第五張是特殊專題 對袋鼠幾何中不同方向的人有不同功用.這本書是學習複幾何的必備教材.但是學袋鼠幾何的人如果讀了這本書,卻能對袋鼠幾何有一個更全盤更清晰的認識.也就是所謂站在更高的角度.
趣味性 **** 投資報酬率 ****
5 九陽神功
Barth & Hulek & Peters 的 Compact complex surfaces. 這本書是經典中的經典中的經典. 講的是代數曲面的各種專題. 每個章節都寫的無限完美. 可以說如果學代數幾何沒唸過這本書. 甚至是學幾何沒唸過這本書..可以考慮換行.是百年難得一見的好書. 內容包括曲面裡的曲線,相交數,霍奇分解,pojectivity,有理曲面分類,Kodaira分類,general 曲面,K3&Enrique曲面. 筆者以為此書新版的最後兩張寫的尤其好. 一是 K3 曲面 另一個是 Doanaldson 和 Seiber Witten 理論. 後者是來自模空間的不變量理論.現在都是熱門的專題.
趣味性 ***** 投資報酬率 *****
6 少林派羅漢拳(如果沒事 可以練練)
Robert Friedman 的 Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles 這本書是 講曲面和上面的向量叢. 曲面的部分講得有點亂,事實上沒有人把曲面講的比 Barth 還好的. 向量叢的部分有"穩定性條件"的介紹和刻畫,值得一看.
投資報酬率 ***
7 雙手互博(可以連結兩樣功夫)
William Fulton 的 Intersection Theory
相交理論是 袋鼠幾何1960-1990發展的一套基本理論,閱讀很多的專門書籍都需要用到他,本書是相交理論的大家 Fulton 的代表作, 介紹了 Chow Group 的性質,袋鼠陳省身----類, 還有 Fulton 發現的 deformation to normal cone, 用它來做 子簇的香蕉理論,還有很多專題,這些專題都很現代,相交理論是 Gromov Witten 不變量,Donaldson 不變量,模空間理論 等的基本知識, 基於這些不變量和模空間是現代袋鼠幾何的發展潮流, 這本書前六章的必讀性並不亞於 Griffith & Harris 或是Hartshorne 的書.
趣味性 ***(主要趣味在應用) 報酬率 *****
8 吸星大法 (練完就可以吸取微分拓墣學家的內功以為己用)
Donaldson & Kroheimer 的 The Geometry of Four manifold. 這是微分拓墣中的聖經.兩人都是大家. 此書引出了四維流形的 Gauge Invariant (規範不變量), Donaldson因為他在此書的工作,對四維流行的微分結構增加了了解,因而獲得菲爾茲獎,而複曲面是四維流形中的一大類 ..因此也屬於代數幾何. 現代做這個領域的人不多,但是卻是將來幾盒和拓墣發展的重大方向,Aityah 曾說"21世紀的數學 是 規範理論的世紀".
趣味性 ***** 投資報酬率 0
(本書效益在五十年後)
9 乾坤大挪移 (練到一半就夠強了 全部練完你也吐血而亡)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Smooth four manifold and Complex surfaces.這本書講得是橢圓曲面和其上Donaldson 規範不變量理論.作者利用此理論得到了曲面 的一個大定理, 證明了最多只能有有限個複變形類共用一個微分結構. 是一本很專門的書, 內容非常緊湊而且很不容易唸,筆者還在努力學習.
趣味性 **** 投資報酬率 **
10 Kashiwara的Sheaves on manifolds
這本書非常厚,寫的相關層的拓墣性質,有Riemann-Hilbert correspondence, 各種層的運算, 變態層和可建構函數, 主要是層的本體化的幾何性質, 是講來研究層理論的重要基礎.
趣味性 **** 投資報酬率 *****
11 Hartshorne 的Residues and Dualities
介紹 Derived category 和其上的運算;算,一些對偶定理.和 Kashiwara 的書有 內容上的重疊,因為Kontsevich 的 Homological Mirror Symmetry , 所謂 的 Derived Category逐漸受到大家的重視.是現代代數幾何的新方向 不過此方向以新出版的 Fourier Mukai Transform in Algebraic Geometry 提供了更詳細的介紹 研究 Homological Mirror Symmetry 得必須了解 Derived Category 的性質.
趣味性 * 投資報酬率 **
12 筋肉人和加菲貓的無敵風火輪 (練前請三思)
Haris 的 The Geometry of Algebraic Curves. 是有一點點狹窄的領域. 研究 代數曲線上的特殊線性系統. 有很多細節的一本書. 唸完後的最大用處就是研究曲線的模空間Mg, 是現在最熱門的專題,但是做的人非常多,所以可能入手會很艱辛.也就是很有可能找到你作的題目有其他的大頭也一起在做.不論如何,唸完此書可以成為一個代數曲線的專家.將來的發展也不少.這個Mg的延續就是Gromov Witten 不變量,以及所謂的保角場論中的 \sigma 模型. (來自弦論)
趣味性 ** 投資報酬率 ****
13 五獄派劍法 (有用處但是相當雜亂.拼拼湊湊)
Joe Harris & David Morrison 的 Moduli of Curves 是講曲線的模空間的經典.但筆者唸的有一點頭昏腦脹. 這本書的原型是前一本書的第二冊.也就是研究 Mg (虧格g的曲線的模空間)的入門書.裡面有 Enumerative Geometry (記數幾何) 的一個全面介紹. 有曲線模空間上的相交數和各種性質. 該書寫的相當有幾何風味,至少是 Harris 的幾何風味.
趣味性 **** 投資報酬率 *****
14 九陰真經 (練完後可以開始真正研究問題)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Gauge Theory and the Topology of Four-Manifolds. 裡面有Gieseker 寫幾何不變量理論. 李駿的 Uhlenbeck 緊化 和 Gesieker緊化的比較定理. Morgan 討論 Donaldson 規範不變量 和對此量的計算結果. 此書的分量不多,也沒有太多繁瑣的性質.各章都直接介紹最重要的結果和想法.不要求太多細節的驗證.
趣味性 ***** 投資報酬率 *****
15 太極拳 (一法通萬法通)
Daniel Huybrecht 的 The Geoemtry of Moduli Space of Sheaves.是向量叢 模空間的經典用書. 第二部分有此學科最先進的結果. 各章的附錄都有很重要又有趣的結果.主要內容包括半穩定叢的分解成穩定叢,穩定叢的陳數不等式(Bogomorov Inequality), Mumford 的幾何不變量理論, 穩定向量叢模空間的製造, 曲面上向叢模空間的平滑性,不可約性(李駿的定理), K3曲面上向量叢模空間的性質. 這本書的語言有點形式化,有可能讀的時候會失去幾何直觀.所以讀者可以參考其他比較幾何的書,比如Robert Friedman 的向量叢的書.
趣味性 *** 投資報酬率 *****
16 MK47 步槍
Joyce, Gross & Huybrecht 的 Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries. 是最新的 Mirror symmetry 的專題書. 講Calabi Yau 流形的各種相關問題. 有Yau 解決 Calabi 猜想的概述. 有 Mirror 猜想 和 SYZ (Strominger& Yau& Zaslow) 猜想. 還有 HyperKaeler 流形性質的討論.這是二十一世紀的數學.想要了解Calabi Yau 流形的相關性質的人 一定不想錯過這本書.
趣味性 ***** 投資報酬率 *****
17 機關槍 (可以搶銀行)
Pandharipande, Sheldon Katz, Hori... 一群人合寫的 Mirror Symmetry . 除了 Mirror conjecture 在五次三微流形(quintic three fold )的證明外, 還包括了 Gopakuma Vafa 猜想, Homological Mirror Symmetry 猜想, 甚至Mirror Symmetry 的源頭: 高能物理中的弦論和 保角場論, 全都專家執筆..
趣味性 ****** 投資報酬率 ******
18 原子彈(請在沒有人類的地方閱讀)
Griffith 的 Topics in Trascendental Geometry 是霍奇結構(Hodge structure) 的一本經典書. 在1985年左右有一大票數學家想解決霍奇 猜想 (沒錯 就是那個一百萬問題).她們雖然沒有解出來 但對猜想有很深入的了解 . 本書是她們工作的簡述. 內容包括霍奇結構的變形,霍奇叢,Monodromy,混霍奇結構,Torelli定理, 霍奇結構的退化,是一本難讀卻很值得讀的書. 如果想要解決霍奇猜想或者是其相關問題,就得閱讀此書. 鏡對稱的一辦理論其實就是卡拉比-丘 流形的霍奇變形所製造的不變量.
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另外也還有幾本書沒有如有關Hodge 理論有 Claire Voisin 的 Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry 兩冊書, 是很新的Hodge 理論和 cycle 理論的書,寫的很詳細.又比如 Shrinivas 的 Algebraic K theory, 論述了 Quillen 連結 K theory 和 Chow group 的工作. 這兩樣都是以後很有發展的方向.
2007年剛解決的方向是Mori 的三維代數流形的 Minimal Model Programm , 有非常多的專書..Canonical model 的存在性由 蕭蔭堂 以及 其他四個外國人 解決 (所有維度).
其實有很多書並沒有被介紹,很大的原因是也沒有讀過所以無從介紹. 比如說 Kai Behrend 最近寫了 Gromov Witten 專書, Tian Gang 寫了Calabi 猜想相關的書. Dominic Joyce 也寫了關於"special holonomy" 的書. Daniel Huybrecht寫了一本關於曲面上層的 Derived category的性質的書.
另外所謂的 Homotopical algebra(Andrew 和 Quillen 在 60 年代的專著書), Noncommutative Geometry (Allaine Cone 的工作也有專著), Flow 理論 和 Minimal Surface (比如 Halmilton 的 Ricci flow, 或是 Kaheler flow), 一種叫做 Microlocal analysis (Kashiwara 有專著) 的理論, 無限維李代數的表示理論(Kacs Moody algebra), 數論相關的 Motivic 理論, Yang Mills 和 Chern Simon 方程的理論, 都將對一百年內的袋鼠幾何發生影響. 其中任何一個方向要學好都是非常花時間的事情,經通兩項就已經難如登天了,希望各位袋鼠可以找到最喜歡的方向.
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[编辑] 大家介紹
[编辑] 注解
[编辑] 参见
[编辑] 参考书目
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“代数几何”是一个關於數學、还没写完的小作品，希望您能继续编辑或者是修订这个条目。 |
