代數同態

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1个分类: 代数

在A和B兩個K-多元環之間的同態是指一個函數 $F:A\rightarrow B$ ，此函數能使得對所有在K內的k和在A內的x、y來說，

F(kx) = kF(x)

F(x + y) = F(x) + F(y)

F(xy) = F(x)F(y)

若F是單射的，則F稱為是A和B之間的同構。

[编辑] 例子

令A=K[x]為在一個體K上的所有多項式所組成的集合，且B為一個在K上所有多項式函數所組成的集合，則A跟B兩個都會是在K上分別由標準的多項式和函數的乘法及加法所構成的代數。可以將每個在A內的 $f\,$ 以 $\hat{f}(t) = f(t) \,$ 的方式映射至於B內的 $\hat{f}\,$ 。很簡單便可以知道這個映射 $f \rightarrow \hat{f}\,$ 會是一個A和B兩個代數之間的同態。若K是一個有限體的話，則可令

$p(x) = \Pi_{t \in K} (x-t).\,$

其中p是一個在K[x]內的非零多項式。但對所有在K內的t， $p(t) = 0\,$ ，所以其映射 $\hat{p} = 0\,$ 都會是一個零值函數，這兩個代數因此不會是同構的。

若K是無限的，則令 $\hat{f} = 0\,$ 。接下來要證明這會使得 $f = 0\,$ 。設 $deg(f) = n\,$ 和 $t_0,t_1,\dots,t_n\,$ 為K內n+1個不同的元素，則對 $0 \le i \le n$ 都會有 $f(t_i) = 0\,$ 。再利用拉格朗日插值便能得到 $f = 0\,$ 。因此映射 $f \rightarrow \hat{f}\,$ 是單射的，故而有一個在A和B之間的同構。