代數封閉域

维库，知识与思想的自由文库

在數學上，一個域 $F$ 被稱作代數封閉的，若且唯若任何係數佈於 $F$ 且次數大於零的單變數多項式在 $F$ 裡至少有一個根。

[编辑] 例子

舉例明之，實數域並非代數封閉域，因為下列實係數多項式無實根：

x 2 + 1 = 0

同理可證有理數域非代數封閉。此外，有限域也不是代數封閉域，因為若 $a_1, \ldots, a_n$ 列出 $F$ 的所有元素，則下列多項式在 $F$ 中沒有根：

$(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1\,$

反之，複數域則是代數封閉域；這是代數基本定理的內容。另一個代數封閉之例子是代數數域。

[编辑] 等價的刻劃

給定一個域 $F$ ，其代數封閉性與下列每一個性質等價：

任何次數 $=n \geq 1$ 的多項式 $p (X)$ 皆可分解為一次因子的乘積；換言之，存在 $x_1, \ldots, x_n \in F$ 及 $c \in F, c \neq 0$ 使得

$p(X) = c(X-x_1)(X-x_2) \cdots (X-x_n)\,$

F 沒有真代數擴張。
對任意自然數 $n$ ，任何從 $F n$ 到 $F n$ 的線性映射都有特徵向量。
任何係數佈於 $F$ 的單變數有理函數 $q (X)$ 都存在自然數 $N$ ，使之寫成

$q(X) = \sum_{i=1}^N \dfrac{a_i}{(X-b_i)^{n_i}}$

其中對每個 $1 \leq i \leq N$ 都有 $a_i, b_i \in F, n_i \in \mathbb{N}$ 。

[编辑] 代數閉包

設 $E \supset F$ 為代數擴張，且 $E$ 是代數封閉域，則稱 $E$ 是 $F$ 的一個代數閉包。可以視之為包含 $F$ 的最小的代數封閉域。

若我們承認佐恩引理（或其任一等價陳述），則任何域都有代數閉包。設 $E, E'$ 為任兩個 $F$ 的代數閉包，則存在環同構 $\sigma: E \stackrel{\sim}{\rightarrow} E'$ 使得 $σ | F = id F$ ；代數閉包在此意義上是唯一的，通常記作 $F alg$ 或 $\bar{F}$ 。

[编辑] 文獻

S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
Bartel Leendert van der Waerden|B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5

来自“http://www.wikilib.com/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B8%E5%B0%81%E9%96%89%E5%9F%9F”

个人工具