伴隨函子

在範疇論中，一對函子 $F, G$ 若滿足 $Hom(F ( - ), - ) = Hom( - , G ( - ))$ ，則稱之為一對伴隨函子，其中 $G$ 稱為 $F$ 的右伴隨函子，而 $F$ 是 $G$ 的左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

[编辑] 定義

設 $F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2, \; G: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1$ 為函子，若存在雙函子的同構

$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-,G(-))$

則稱 $F, G$ 為一對伴隨函子， $G$ 稱為 $F$ 的右伴隨函子，而 $F$ 是 $G$ 的左伴隨函子。

上述同構進一步給出兩個同構

$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F \circ G(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(G(-), G(-))$

$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-), F(-)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-, G \circ F(-))$

分別在同構的左右兩側置 $id F ( - )$ 與 $id G ( - )$ ，遂得到函子間的態射（即自然變換）：

$\mathrm{id}_{\mathcal{C}_1} \to G \circ F \quad$ （單位）

$F \circ G \to \mathrm{id}_{\mathcal{C}_2} \quad$ （上單位）

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

若 $F, G$ 是一對伴隨函子，則 $F$ 為右正合而 $G$ 為左正和；此命題可由正合函子與極限的定義直接導出。

伴隨函子在數學中處處可見，以下僅舉出幾個例子：

自由對象與遺忘函子是一對伴隨函子，舉群範疇為例，此時單位態射不外是集合 $X$ 到它生成的自由群 $F (X)$ 的包含映射。
積與對角函子。
設 $R$ 為環， $M$ 為右 $R$ -模，則 $M \otimes_R - : _R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ 與 $\mathrm{Hom}_\Z (-,M): \mathbf{Ab} \to _R\mathbf{Mod}$ 為一對伴隨函子。當 $R$ 可交換時，上式的 $\Z$ 可代為 $R$ ， $\mathbf{Ab}$ 可代為 $_R\mathbf{Mod}$ 。
層的正像與逆像。
群表示理論中的弗羅貝尼烏斯互反定理（詳閱誘導表示）。