Γ函数

(重定向自伽傌函數)

微积分学
微积分基础函数初等函数极限数列夹挤定理连续间断点一元微积分导数与微分高阶导数介值定理中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式洛必达法则导数的函数应用极值凹凸性曲率积分不定积分积分表三角函数积分表反函数积分表反双曲函数积分表对数函数积分表指数函数积分表无理函数积分表有理函数积分表定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式多元函数积分重积分二重-三重-多重广义重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程差分方程拉普拉斯变换法微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

Γ函数，也叫做伽瑪函數(Gamma函数)，它在理论研究和应用上都有重要意义。

[编辑] 定義

Γ函數定義為：

$\Gamma(z)=\begin{matrix}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\quad(t>0) \end{matrix}$

此積分在實數 $z > 0$ 時絕對收斂，也可以考慮 $z$ 為複數的情形，此時要求 $Re(z) > 0$ 。

[编辑] 無窮乘積

Γ函數可以用無窮乘積表示：

$\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

其中 $γ$ 是歐拉常數。

[编辑] Gamma積分

$1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}dx$

$\Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx$

[编辑] 递推公式

Γ函数的递推公式为：

Γ(z + 1) = x Γ(z)

对于正整数 n，有

Γ(n + 1) = n!

可以说Γ函数是階乘的推廣

[编辑] 重要性质

Γ函數在實軸上的函數圖形

當 $z\to 0^+$ 時， $\Gamma(z)\to+\infty$
歐拉反射公式：

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)$

由此可知当 z=1/2 时， $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ 。

乘法定理：

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).$

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).$