伽羅瓦理論

维库，知识与思想的自由文库

在数学中，特别是抽象代数理论中，由埃瓦里斯特·伽罗瓦得名的伽罗瓦理论提供了域论和群论之间的联系。应用伽罗瓦理论，域论中的一些问题可以化简为更简单易懂的群论问题。

伽罗瓦最初使用置换群来描述给定的多项式的根与根之间的关系。由戴德金、利奥波德·克罗内克、艾摩·阿廷等人发展起来的现代伽罗瓦理论引入了关于域扩张及其自同构的研究。

伽罗瓦理论的进一步抽象为伽罗瓦连接理论。

目录 1 在经典问题上的应用 2 伽罗瓦理论的置换群描述 2.1 第一个例子：二次方程 2.2 第二个例子 — 有些技巧性 3 现代的域论描述 4 可解群和根式解 4.1 一个不可解的五次方程例子 5 The inverse Galois problem 6 参考文献 7 外部链接

[编辑] 在经典问题上的应用

伽罗瓦理论的诞生最初是由于如下的现在称之为阿贝尔-鲁菲尼定理的问题：

"为什么五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根？"

伽罗瓦理论不仅对于这个问题提供了一个漂亮的解答，而且详细的解释了为什么四次及更低次方程有代数解，以及它们的代数解为什么是那样的形式。

伽罗瓦理论还给出了一些有关尺规作图的问题的清晰洞察。它给出了所有可以尺规作图的长度比的一个优雅的描述。这样，一些经典几何问题的解答变得相对容易：

"哪些正多边形是可以尺规做出的？"

"为何不能三等分任意角？"

[编辑] 伽罗瓦理论的置换群描述

如果我们给定一个多项式，它的一些根可能是被不同的代数方程联系起来的。例如，有两个根 A 和 B，它们满足方程 A² + 5B³ = 7。伽罗瓦理论的核心思想是考虑具有以下性质的根的置换：这些根所满足的任何代数方程，在置换之后也依然成立。一个重要的限制条件是我们要把代数方程的系数限定为有理数。（其实也可以把系数限定在其他的一个给定的域，但是为了简单起见，我们限制在有理数域。）

这些置换形成了一个置换群，也称为这个多项式（在实数域上）的伽罗瓦群。这可以很清晰的举例说明。

[编辑] 第一个例子：二次方程

考虑如下的一元二次方程：

x² − 4x + 1 = 0.

应用一元二次方程的求根公式，我们可以求出它的两个根为

A = 2 + √3,   和

B = 2 − √3.

A 和 B 满足的代数方程例如：

A + B = 4,   和

AB = 1.

显然在这些方程中，如果我们交换 A 和 B，我们同样能得到真命题。例如，方程 A + B = 4 简单的变成了 B + A = 4。进一步的，这对于 A 和 B 满足的所有可能的代数方程都成立。证明这个结论需要对称多项式的理论。

我们可以总结出，多项式 x² − 4x + 1 的伽罗瓦群由两个置换构成：保持 A 和 B 不变的恒同变换，以及交换 A 与 B 位置的对换。它是一个二阶循环群，因此同构于 Z/2Z。

这里会有人产生疑问： A 和 B 同样满足另一个代数方程 A − B − 2√3 = 0，但交换 A 和 B 时这个方程并不能保持不变。其实这并不是个问题，因为它不是有理系数方程：√3 是一个无理数。

类似地可以讨论任意二次多项式 ax² + bx + c, 其中 a, b 和 c 都是有理数。

• 如果多项式只有一个根，例如 x² − 4x + 4 = (x−2)², 那么伽罗瓦群是平凡的；也就是说，它只包括恒同变换。
• 如果多项式有两个不同的有理根，例如 x² − 3x + 2 = (x−2)(x−1), 伽罗瓦群同样是平凡的。
• 如果多项式有两个无理根(包括根是复数的情况), 那么伽罗瓦群包括上面例子中所描述的两个置换。

[编辑] 第二个例子 — 有些技巧性

考虑多项式

x⁴ − 10 x² + 1,

也可以写成

(x² − 5)² − 24.

我们同样希望在有理数域上描述这个多项式的伽罗瓦群。这个多项式有四个根：

A = √2 + √3,

B = √2 − √3,

C = −√2 + √3,

D = −√2 − √3.

这四个根有 24 种可能的排列，但这些排列并不都是伽罗瓦群的元素。伽罗瓦群的元素必须保持所有 A, B, C 和 D 满足的有理系数代数方程。这样的方程例如：

A + D = 0.

因此置换

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

是不允许的，因为它把真等式 A + D = 0 变成了假等式 A + C = 0，因为 A + C = 2√3 ≠ 0.

这些根满足的另一个等式为：

(A + B)² = 8.

这也会去掉一些置换，例如：

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

如此继续下去，我们可以求出满足所有等式的置换只有：

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

因此伽罗瓦群同构于克莱因四元群.

[编辑] 现代的域论描述

现代的研究方法是从代数扩张 L/K 开始，并分析 L/K 的自同构群。进一步的解释和例子请参见关于伽罗瓦群的文章。

这两种描述的关系如下说明。问题中的多项式的系数应当属于基域 K。扩域 L 应当是在域 K 中添加多项式的根之后所得到的域。 任一满足上述保持多项式性质的根的置换，都对应 L/K 的一个自同构，反之亦然。

在上面的第一个例子中，我们研究的是域扩张 Q(√3)/Q，其中 Q 是有理数域，而 Q(√3) 是在 Q 中加入 √3 之后所得到的域。在第二个例子中，我们研究的是域扩张 Q(A,B,C,D)/Q。

现代的方法比起置换群的方法，有几点优势：

• 它使得伽罗瓦理论基本定理的描述更为简洁；
• 在数学中的很多其他领域需要使用 Q 以外的基域。例如，在代数数论中，人们经常在代数数域、有限域和定域场上应用伽罗瓦理论。
• 它使人们更容易研究无穷扩张。这在代数数论中同样很重要，例如人们经常需要研究 Q 的绝对伽罗瓦群，即当 K 是 Q 的一个代数闭包时，K/Q 的伽罗瓦群。
• 它使得人们可以研究可分扩张。这在经典框架中并不成为问题，因为这时总是可以假定为特征0的；但在数论和代数几何中经常出现特征非0的情况。
• 它去除了人们对多项式求根的依赖性。也就是说，不同的多项式可能产生同一个扩域，现代的方法可以识别这些多项式之间的联系。

[编辑] 可解群和根式解

The notion of a solvable group in group theory allows us to determine whether a polynomial is solvable in the radicals, depending on whether its Galois group has the property of solvability. In essence, each field extension L/K corresponds to a factor group in a composition series of the Galois group. If a factor group in the composition series is cyclic of order n, then the corresponding field extension is a radical extension, and the elements of L can then be expressed using the nth root of some element of K.

If all the factor groups in its composition series are cyclic, the Galois group is called solvable, and all of the elements of the corresponding field can be found by repeatedly taking roots, products, and sums of elements from the base field (usually Q).

One of the great triumphs of Galois Theory was the proof that for every n > 4, there exist polynomials of degree n which are not solvable by radicals—the Abel-Ruffini theorem. This is due to the fact that for n > 4 the symmetric group S_n contains a simple, non-cyclic, normal subgroup.

[编辑] 一个不可解的五次方程例子

Van der Waerden cites the polynomial f(x) = x⁵−x−1. By the rational root theorem it has no rational zeros. Neither does it have linear factors modulo 2 or 3.

f(x) has the factorization (x²+x+1)(x³+x²+1) modulo 2. That means its Galois group modulo 2 is cyclic of order 6.

f(x) has no quadratic factor modulo 3. Thus its Galois group modulo 3 has order 5.

A permutation group on 5 objects with operations of orders 6 and 5 must be the symmetric group S₅, which must be the Galois group of f(x). This is one of the simplest examples of a non-solvable quintic polynomial. Serge Lang said that Artin was fond of this example.

[编辑] The inverse Galois problem

主条目：Inverse Galois problem

All finite groups do occur as Galois groups. It is easy to construct field extensions with any given finite group as Galois group, as long as one does not also specify the ground field.

For that, choose a field K and a finite group G. Cayley's theorem says that G is (up to isomorphism) a subgroup of the symmetric group S on the elements of G. Choose indeterminates {x_α}, one for each element α of G, and adjoin them to K to get the field F = K({x_α}). Contained within F is the field L of symmetric rational functions in the {x_α}. The Galois group of F/L is S, by a basic result of Emil Artin. G acts on F by restriction of action of S. If the fixed field of this action is M, then, by the fundamental theorem of Galois theory, the Galois group of F/M is G.

It is an open problem to prove the existence of a field extension of the rational field Q with a given finite group as Galois group. Hilbert played a part in solving the problem for all symmetric and alternating groups. Igor Shafarevich proved that every solvable finite group is the Galois group of some extension of Q. Various people have solved the inverse Galois problem for selected non-abelian simple groups. Existence of solutions has been shown for all but possibly one (Mathieu group M₂₃) of the 26 sporadic simple groups. There is even a polynomial with integral coefficients whose Galois group is the Monster group.

[编辑] 参考文献

• Emil Artin (1998). Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. 

(Reprinting of second revised edition of 1944, The University of Notre Dame Press).

• Jörg Bewersdorff (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3817-2. 

.

• Nathan Jacobson (1985). Basic Algebra I (2nd ed). W.H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. 

(Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)

• M. M. Postnikov (2004). Foundations of Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. 

• Ian Stewart (1989). Galois Theory. Chapman and Hall. ISBN 0-412-34550-1. 

• Harold M. Edwards (1984). Galois Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. 

(Galois' original paper, with extensive background and commentary.)

• B. L. van der Waerden, 'Algebra' (1930)
• Helmut Völklein, 'Groups as Galois Groups: An Introduction', Cambridge University Press (1996).
• Serge Lang, 'Algebraic Number Theory', Addison-Wesley (1970).

[编辑] 外部链接

Some on-line tutorials on Galois theory appear at:

• http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html
• http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422

Online textbooks in French, German, Italian and English can be found at:

• http://www.galois-group.net/