佩尔方程

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2个分类: 數學小作品 | 数论

若一個丢番图方程具有以下的形式：

$x^2 - dy^2= \pm 1$

且 $d$ 为正整数，则称此方程为佩尔方程(英文：Pell's equation 德文：Pellsche Gleichung)

若 $d$ 是完全平方数，则这个方程式只有解 $(\pm 1, 0)$ （实际上对任意的 $d$ ， $(\pm 1, 0)$ 都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有解。而這些解可由 $\sqrt{d}$ 的連分數求出

另外，当 $d$ 为偶数时， $x 2 - d y 2 = - 1$ 形式的方程无整数解

[编辑] 佩尔方程的解

设 $\tfrac{p_i}{q_i}$ 是 $\sqrt{d}$ 的连分数表示: $[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ]$ 的渐近分数列，由连分数理论知存在 $i$ 使得(p_i,q_i) 为佩尔方程的解。取其中最小的 $i$ ，将对应的 (p_i,q_i) 称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(x₁,y₁) ，则所有的解(x_i,y_i) 可表示成如下形式：

$x_i + y_i\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^i.$

或者由以下递推公式得到：

$\displaystyle x_{i+1} = x_1 x_i + n y_1 y_i,$

$\displaystyle y_{i+1} = x_1 y_i + y_1 x_i.$

[编辑] 例子

$\displaystyle x^2 - 7 y^2 = 1.$

首先根据根号7的渐进连分数表示，找出前几项，察看（分子，分母）是否是一组解。

第一项： $\tfrac{h}{k} = \tfrac{2}{1}$ ， $h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!$ 不是解；

第二项： $\tfrac{h}{k} = \tfrac{3}{1}$ ， $h^2 - 7 k^2 = 2,\,\!$ 不是解；

第三项： $\tfrac{h}{k} = \tfrac{5}{2}$ ， $h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!$ 不是解；

第四项： $\tfrac{h}{k} = \tfrac{8}{3}$ ， $h^2 - 7 k^2 = 1.\,\!$ 是解。

于是最小解是(8,3)。计算 $x_1 + y_1\sqrt n$ 的各次乘方，或者用递推公式（不能直接得出某一项）就可以得到接下来的各组解

(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151;3096720)、 (130576328,49353213) ......

[编辑] 与代数数论的联系

佩尔方程与代数数理论有紧密联系，因为公式 $x^2 - n y^2 = (x + y\sqrt n)(x - y\sqrt n)$ 给出了环 $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ （即二次域 $\mathbb{Z}(\sqrt{n})$ ）上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅 $x+y \sqrt{n}$ 的范数是一，即是域上的一个单元。根据迪利克雷单元定理， $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ 的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到，但这时的基本解并不一定就是基本单元。