偏微分方程

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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函數及其偏导数數之間的關係。符合這個關係的函数是方程的解。

偏微分方程分為線性偏微分方程式與非線性偏微分方程式，常常有幾個解而且涉及額外的邊界條件。

[编辑] 記號及例子

方程式中常以u為未知數及偏微分,如下:

$u_x = {\part u \over \part x}$

$u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x}$

用於空間偏微分的梯度運算子 $\nabla=(\part_x,\part_y,\part_z)$

時間偏微分 $\dot u$ ，線性偏微分方程式的例子如下：

u x x + u y y + u z z = 0

適用於重力場或靜電場。

u x x + u y y + u z z = f (x, y, z)

適用於有物質或電荷的重力場或靜電場。

未知函數 u(x,y,z,t):

u t t = c 2 (u x x + u y y + u z z)

$\ddot u=c^2\nabla^2u$

u t = k (u x x + u y y + u z z)

其中 k 代表該材料的熱傳導性能

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