傅里叶级数

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法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），後世稱為傅里叶级数(法文：série de Fourier，或譯為傅利葉級數)，

[编辑] 傅里叶级数的公式

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：

$x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}$ （j为虚数单位）（1）

其中， $a k$ 可以按下式计算：

$a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}dt$ （2）

注意到 $f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}$ 是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量， $k=\pm 1$ 时具有基波频率 $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$ ，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

[编辑] 傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：

在任何周期内，x(t)须绝对可积；
在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

[编辑] 三角函数族的正交性

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

$\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;$