優環

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3个分类: 代数几何 | 交換代數 | 来自中文维基百科

在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。

代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。

[编辑] 定義

以下所論之環皆假定為么交換環。

一個包含域 $k$ 的環 $R$ 被稱作在 $k$ 上是幾何正則的，若且唯若對任何有限擴張 $k' / k$ ，環 $R \otimes_k k'$ 都是正則的。
一個環同態 $\phi: R \rightarrow S$ 被稱作是正則的，若且唯若它是平坦的，且對任何 $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)$ 其纖維 $S \otimes_R k(\mathfrak{p})$ 在剩餘域 $k(\mathfrak{p})$ 上幾何正則。
一個環 $R$ 被稱作 G-環（或格羅滕迪克環），若且唯若它是諾特環，且所有的形式纖維都是幾何正則的；第二個條件意謂：對任何 $\mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R)$ ，環同態

$R_\mathfrak{p} \rightarrow \widehat{R_\mathfrak{p}}$ 是正則的。

一個環 $R$ 被稱作是擬優環，若且唯若它是個 G-環，且對任意有限生成的 $R$ -代數 $S$ ， $Spec(S)$ 的奇點集是閉的。
一個優環是一個泛鏈的擬優環。

實際應用中的諾特環幾乎都是泛鏈的，因此擬優環與優環幾無差別。

若一個局部諾特概形 $X$ 上有開覆蓋 $U i$ ，使得每個 $U i$ 都是優環的譜，則稱 $X$ 為優概形。

[编辑] 優環的例子

完備局部諾特環，包括域。
特徵為零的戴德金環，包括整數環 $\mathbb Z$ 。
$\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的收斂冪級數環。
優環的局部化仍為優環。
優環上的有限生成代數仍為優環。

以下將給出一個特徵 $p > 0$ 的一維局部正則環而非優環的例子。設 $k$ 是一個特徵 p 的域， $[k:k^p]=\infty$ ，令 $R : = k [[X]]$ ，更令

$A := \{\sum_{a_i}X^i \in R : [k^p(a_1, \cdots) : k^p] < \infty \}$

則 $A$ 有非幾何正則的的形式纖維，故非優環。

凡擬優環皆為永田雅宜環。

[编辑] 優概形與擬優概形

如果一個概形 $X$ 有仿射開覆蓋 $X = \bigcup U_\alpha$ ，使得每個 $U α$ 都是優環的交換環譜，則稱 $X$ 為優概形。此條件一旦對某個仿射開覆蓋滿足，則被所有仿射開覆蓋滿足。

擬優概形的定義類此。

[编辑] 奇點解消

擬優環與奇點解消問題關係密切，這似乎也是格羅滕迪克定義擬優環的動機。格羅滕迪克在 1965 年觀察到：若能在所有完備的局部諾特整環中消解奇點，則在所有既約的擬優環中亦然。廣中平祐在1964年證明了：特徵為零時，完備局部諾特整環中皆可消解奇點。因此在特徵為零的域上，凡優環皆可消解奇點。反之，若能在諾特環 $R$ 上的所有有限生成整代數上消解奇點，則 $R$ 是擬優環。

[编辑] 文獻

V.I. Danilov, "Excellent ring" SpringerLink 數學全書 (2001)

A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique Publ. Math. IHES , 24, section 7 (1965)
Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.

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