內射維度、射影維度與同調維度

射影維度、內射維度與同調維度（又稱整體維度）是交換代數中考慮的重要不變量。

[编辑] 定義

以下設 $A$ 為交換環，而 $M$ 為 $A$ -模。

$M$ 的內射維度 $id A (M)$ 定義為其內射分解的最短長度（當 $M = (0)$ 時置 $\mathrm{id}_A(0) = -\infty$ ）。射影維度 $pd A (M)$ 則定義為其射影分解的最短長度。

利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃：

命題一. 設 $n \geq 0$ 為整數，下述條件等價：

$\mathrm{id}_A(M) \leq n$ 。
對所有 $A$ -模 $N$ ，有 $i>n \Rightarrow \mathrm{Ext}^i_A(N,M)=0$ 。
對所有理想 $I \subset A$ ，有 $\mathrm{Ext}^{n+1}_A(A/I, M)=0$ 。
對所有正合序列 $0 \to M \to I^0 \to \cdots \to I^{n-1} \to Q \to 0$ ，若每個 $I$ 都是內射模，則 $Q$ 也是內射模。

命題二. 設 $n \geq 0$ 為整數，下述條件等價：

$\mathrm{pd}_A(M) \leq n$ 。
對所有 $A$ -模 $N$ ，有 $i>n \Rightarrow \mathrm{Ext}^i_A(M, N)=0$ 。
對所有正合序列 $0 \to K \to P_{n-1} \to \cdots \to P_0 \to M \to 0$ ，若每個 $P$ 都是射影模，則 $K$ 也是射影模。

當 $A$ 為諾特環而 $M$ 為有限生成 $A$ -模時，上述條件更等價於

對所有極大理想 $\mathfrak{m} \subset A$ ，有 $\mathrm{Ext}_A^{n+1}(M, A/\mathfrak{m}) = 0$
對所有極大理想 $\mathfrak{m} \subset A$ ，有 $\mathrm{Tor}^A_{n+1}(M, A/\mathfrak{m}) = 0$

由此可定義環 $A$ 的同調維度 $hd(A)$ 為：

$\sup_M \; \mathrm{pd}_A(M)$
$\sup_M \; \mathrm{id}_A(M)$
存在 $A$ -模 $M, N$ 使得 $\mathrm{Ext}_A^n(M,N) \neq 0$ 的最大整數 $n$ （可能是無窮大）。

[编辑] 性質

內射維度、射影維度與同調維度對局部化有下述關係：

$\mathrm{id}_A(M) = \sup_{\mathfrak{p}}\; \mathrm{id}_{A_\mathfrak{p}} (M_\mathfrak{p})$

$\mathrm{pd}_A(M) = \sup_{\mathfrak{p}}\; \mathrm{pd}_{A_\mathfrak{p}} (M_\mathfrak{p})$

其中的 $\mathfrak{p}$ 取遍 $A$ 的所有素理想（或極大理想），而射影維度給出 $\mathrm{Spec} A \to \Z \cup \{\pm \infty\}$ 的上半連續函數。事實上，僅須考慮 $M$ 的支撐集中的素理想。

由此立刻得到 $\mathrm{hd}(A) = \sup_\mathfrak{p}\; \mathrm{hd}(A)$ 。

此外，它們與模的深度也有密切的關係，例如：

定理（Auslander-Buchsbaum）：設 $A$ 為局部諾特環， $M$ 為有限生成 $A$ -模，而且其射影維度有限，則

pd A (M) + depth A (M) = depth(A)

定理：設 $A$ 為局部諾特環， $M$ 為有限生成 $A$ -模，而且其內射維度有限，則

id A (M) = depth(A)

最後，同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃：

定理（Serre）：一個局部諾特環 $A$ 是正則局部環的充要條件是 $\mathrm{hd}(A) < +\infty$ ，此時 $hd(A) = dim A$ 。

[编辑] 文獻

N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6

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