函子

跳转到: 导航, 搜索

在範疇論中，函子是範疇間的一類映射。函子也可以解釋為小範疇構成的範疇中的態射。

函子首先現身於代數拓撲學，其中拓撲空間的連續映射給出相應的拓撲不變量（例如基本群、同調群或上同調群）的映射。在當代數學中，函子被用來描述各種範疇間的關係。「函子」（英文：Functor）一詞借自哲學家魯道夫·卡爾納普的用語。

[编辑] 定義

設 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 為範疇，一個函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是指下述資料：

使之滿足下列條件：

換言之，函子保持恆等態射與態射的合成。

數學中有許多構造具有函子的性質，不同之處在於它們將態射的方向「反轉」。為此，我們定義反變函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 為：

使之滿足：

對任何對象 $X \in \mathcal{C}$ 恆有 $F(\mathbf{id}_X) = \mathbf{id}_{F(X)}$ 。
對任何 $\mathcal{C}$ 中的態射 $f: X \to Y\; g: Y \to Z$ ，恆有 $F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$ 。

在此脈絡下，原定義中的函子則稱為協變函子。反變函子有時也稱上函子。

一個反變函子 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 也可以利用反範疇理解為函子 $F: \mathcal{C}^\mathrm{op} \to \mathcal{D}$ 。近來數學界的趨向是將函子一概理解為協變函子，而以反範疇演繹反變函子，以縮減冗餘的概念與術語。

兩個函子 $F, G: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 間的自然變換是一族態射

$\eta_X: F(X) \to G(X) \quad (X \in \mathcal{C})$

使得任何 $X, Y \in \mathcal{C}$ 及態射 $f: X \to Y$ 均滿足下述交換圖：

當 $η X$ 皆為同構時，可以定義此自然變換之逆 $(η X) - 1$ ，兩者的合成為恆等自然變換。此時稱 $η X$ 為函子 $F, G$ 之間的同構。

對反變函子也可以類似地定義自然變換。

常數函子：將任何對象 $X \in \mathcal{C}$ 映至一個固定的對象 $Y_0 \in \mathcal{D}$ ，並將所有態射映至 $\mathbf{id}_{Y_0}$ 。亦稱選擇函子。
對角函子：為一函子 $\mathcal{D} \to \mathcal{D}^\mathcal{C}$ ，將 $\mathcal{D}$ 的任一對象送至對應於該對象的常數函子。極限函子可視為對角函子的伴隨函子。
遺忘函子：取一個帶有結構的集合（群、環、模、拓撲空間等等）的一部份結構的函子，例如「遺忘」模的純量積而得到阿貝爾群，或遺忘拓撲空間的拓撲結構而得到集合。
可表函子：在任一範疇 $\mathcal{C}$ 中，固定對象 $X \in \mathcal{C}$ 並定義函子 $h X : = Hom( - , X)$ 及 $k X : = Hom(X, - )$ ，它們分別是 $\mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ 的協變及反變函子，稱為 $X$ 給出的可表函子。同構於某個 $h X$ 或 $k X$ 的函子稱為可表函子，數學中有許多問題皆可理解為函子的可表性問題。

以下列舉部份常見的具體例子。

冪集合：在集合範疇中將一集合 $X$ 映至其冪集合 $P (X)$ 的函子。對於集合映射 $f: X \to Y$ ，可以使之對應到 $U \in P(X) \mapsto f(U) \in P(Y)$ （給出協變函子）或 $V \in P(Y) \mapsto f^{-1}(V) \in P(X)$ （給出反變函子）。
對偶空間：此函子將一個線性空間定映到其對偶空間，並將線性映射映至其對偶映射。
基本群：考慮帶點的拓撲空間範疇 $\mathcal{C}$ ，其對象形如 $(X, x 0)$ ，其中 $x_0 \in X$ ，態射 $f: (X,x_0) \to (Y, y_0)$ 是連續映射 $f: X \to Y$ 且滿足 $f (x 0) = y 0$ 者。此時基本群給出一個函子 $\pi^1(-): \mathcal{C} \to \mathbf{Group}$ ，後者是群範疇。
連續函數的代數：對一拓撲空間 $X$ ，考慮其上所有連續函數構成之實結合代數 $C (X)$ ，空間的連續映射 $f: X \to Y$ 對應到函數的拉回，如此則得到一個反變函子。當空間 $X$ 帶有更多結構（例如光滑流形、複流形）時，定義可以相應地推廣。
李代數：對任一實（或複）李群，考慮其李代數；李群間的同態給出李代數間的同態，此映射遂給出一個協變函子。

從函子的公理可推出兩項重要性質：

在任何範疇 $\mathcal{C}$ 上，我們可定義恆等函子 $\mathbf{1}_\mathcal{C}$ ，它將任何對象與態射映至本身。此外我們也可以定義函子的合成，此合成滿足結合律，因而函子可視為小範疇的範疇中的態射。

只有單個對象的範疇相當於一個么半群，其態射對應到么半群中的元素，而態射合成對應到二元運算。此時這類範疇間的函子無非是么半群間的同態。在此意義下，函子可視為么半群同態的推廣。

雙函子是函子概念在「雙變元」時的推廣。形式的定義則定義在兩個範疇的積上的函子 $F: \mathcal{A} \times \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ 。

函子 $Hom( - , - )$ 是一個自然的例子，它對第一個變元反變，對第二個變元協變。

函子本身亦可視為函子範疇中的對象，該範疇中的態射是函子間的自然變換。近來有以「函子的態射」取代術語「自然變換」的趨勢。

函子也經常以泛性質定義，例子包括了張量積，模或群的直和、直積，自由群與自由模的構造；許多構造可以統合於正極限與逆極限的概念下。

泛建構也往往給出一對伴隨函子。

本質滿射函子：使得值域中任意對象皆同構於某個 $F (X)$ 的函子。
正合函子：保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中相當於保存正合序列。
忠實函子：使得對任意對象 $X, Y$ ， $\mathrm{Hom}(X,Y) \to \mathrm{Hom}(FX,FY)$ 為單射的函子。
完全函子：使得對任意對象 $X, Y$ ， $\mathrm{Hom}(X,Y) \to \mathrm{Hom}(FX,FY)$ 為滿射的函子。
完全忠實函子：既完全且忠實的函子稱為完全忠實函子。 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 是完全忠實函子的充要條件是 $F: \mathcal{C} \to F(\mathcal{C})$ 是範疇的等價，其中 $F(\mathcal{C})$ 表示 $\mathcal{D}$ 中由 $F$ 的像生成的滿子範疇。
保守函子：使得 $F (f)$ 為同構若且唯若 $f$ 為同構的函子。
加法函子：指預加法範疇（或加法範疇）中保存同態集（以及雙積）的阿貝爾群結構的函子。
伴隨函子： $(F, G)$ 滿足下述條件時稱為一對伴隨函子： $\mathrm{Hom}(F(-), -) \simeq \mathrm{Hom}(-,G(-))$ 。