函數域

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在代數幾何中，一個整概形 $X$ 的函數域 $K X$ 由 $X$ 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 $K X$ 所決定的幾何性質。

[编辑] 整概形的情形

[编辑] 定義

若 $X$ 是仿射整概形， $U \subset X$ 為開集，則定義 $K X (U)$ 為 $\mathcal{O}_X(U)$ 的分式域。此時 $K X$ 是 $\mathcal{O}_X(X)$ 的分式域的常數層。

若 $X$ 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 $U \subset X$ ，可以一致地定義 $K_X(U) := K_V(U \cap V)$ ，其中 $V$ 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 $X$ 的函數域。另一種等價定義是 $\mathcal{O}_X$ 在一般點的莖。

[编辑] 函數域與維度

設 $k$ 為域， $X$ 為不可約 $k$ -代數簇，則 $K X$ 是 $k$ 的域擴張，有時也寫作 $k (X)$ 。此擴張的超越次數等於 $dim X$ ，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。

[编辑] 例子

$\Z$ 的函數域是 $\mathbb{Q}$ 。

以下設 $k$ 為域。

單點 $Spec(k)$ 的函數域是 $k$ 本身。
仿射直線 $\mathbb{A}^1_k$ 與射影直線 $\mathbb{P}^1_k$ 的函數域都是 $k (t)$ ，其中 $t$ 是 $k$ 上的超越元。
考慮平面曲線 $y 2 = x 5 + 1$ ，其函數域是 $k (x, y)$ ，其中 $x, y$ 是 $k$ 上滿足 $y 2 = x 5 + 1$ 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 $k$ 為有限域時， $k$ -代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。

[编辑] 一般概形的情形

當 $X$ 不是整概形時， $\mathcal{O}_X$ 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：

對任一開集 $U \subset X$ ，令

S U

為 $\mathcal{O}_X(U)$ 中的非零因子集，這是一個積性集。命 $K_X^p(U) := S_U^{-1} \mathcal{O}_X(U)$ （即 $\mathcal{O}_X(U)$ 的全分式環）。 $K_X^p$ 構成

X

上的預層。令

K X

為其層化，此即

X

的有理函數層，它是 $\mathcal{O}_X$ -代數構成的層。

若 $X$ 局部上可以分解成有限個整概形 $X = \bigcup X_i$ （這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集 $U$ 有

$K_X(U) = \bigoplus_{X_i \cap U \neq \emptyset} K_{X_i}$

此時 $K X$ 是 $X$ 上的擬凝聚層。

[编辑] 與亞純函數域的關係

在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 $\mathbb{C}$ -代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 $\mathbb{A}^1_\mathbb{C}$ ）；若加上緊緻條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。

[编辑] 文獻

Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné (1971). Éléments de géométrie algébrique, 2nd edition (in French), Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 3540051139.

Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206

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