分式環

在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。

分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。

[编辑] 構造

分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 R 為一個整環，而 S: = R − {0}。

在集合 上定義下述等價關係 ˜：

等價類 [r,s] 可以想成「分式」 r / s，上述等價關係無非是推廣有理數的通分；藉此類比，在商集 上定義加法與乘法為：

[r,s] + [r',s'] = [rs' + r's,ss']

[r,s][r',s'] = [rr',ss']

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ，定義為 ；這是一個單射。於是可定義分式環 ，再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上，我們常逕將 T(R) 裡的元素寫作分式 r / s。

[编辑] 泛性質

整環 R 的分式環 K(R) 及其自然環同態 滿足以下的泛性質：

對任何環 T 及環同態 ，若 R − {0} 中的元素在 φ 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 ，使得 φ 是 與 ψ 的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明：任何一組資料 若使得 K − {0} 中的元素在 φ 下的像皆可逆，且滿足上述泛性質，則 K 必與 T(R) 同構。

[编辑] 例子

• 有理數域 是整數環 的分式環——這是小學生的環論。
• 有理函數域是多項式環的分式環
• 代數數域是代數整數環的分式環。
• 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。

[编辑] 推廣

更多資料：局部化

對於一般的交換環 R（容許有零因子 ），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使 為單射的「最大」局部化，詳述如下：

設 S 為 R 中的非零因子所成子集，它是個積性子集，因此可對之作局部化。令 T(R): = S ^{− 1}R，此時 T(R) 常被稱作 R 的全分式環。