动差生成函数

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动差又被称为矩。隨機變數 X 的動差生成函數定義為：

$M_X(t)=E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},$

前提是这个期望值存在.

由動差生成函數可生成此機率分佈的各階動差。動差定義：

$E[X^n]=\int_{-\infty}^\infty x^n\,dF(x) = \int_{-\infty}^\infty x^n\,f(x)dx$

由動差生成函數微分，再將參數以零代入可得各階動差：

$E[X^n]=M_X^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} M_X(t).$

依此類推。