包絡線

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在幾何學，某個曲線族的包絡線（Envelope），是跟該曲線族的每條線都有至少一點相切的一條曲線。（曲線族即一些曲線的無窮集，它們有一些特定的關係。）

設一個曲線族的每條曲線 $C s$ 可表示為 $t \mapsto (x(s,t),y(s,t))$ ，其中 $s$ 是曲線族的參數， $t$ 是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由 $s \mapsto ( x(s,h(s)), y(s,h(s)) )$ 得出，其中 $h (s)$ 以以下的方程求得：

$\frac{\partial y}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial h}$

若曲線族以隱函數形式 $F (x, y, s) = 0$ 表示，其包絡線的隱方程，便是以下面兩個方程消去 $s$ 得出。

$\begin{cases} F(x,y,s)=0\\ \frac{\partial F(x,y,s)}{\partial s} =0\end{cases}$

繡曲線是包絡線的例子。直線族 $(A - s) x + s y = (A - s)(s)$ （其中 $A$ 是常數， $s$ 是直線族的變數）的包絡線為拋物線。[1]

[编辑] 證明

設曲線族的每條曲線 $C s$ 為 $t \mapsto (x(s,t),y(s,t))$ 。

設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切，對於任意的 $s$ ，設 $(x (s, h (s)), y (s, h (s)))$ 表示 $C s$ 和包絡線相切的那點。由此式可見， $s$ 是包絡線的變數。要求出包絡線，就即要求出 $h (s)$ 。

在 $C s$ 的切向量為 $< \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial t} >$ ，其中 $t = h (s)$ 。

在E的切向量為 $< \frac{dx}{ds}, \frac{dy}{ds} >$ 。因為 $x$ 是 $s$ 和 $t$ 的函數，而此處 $t = h (s)$ ，局部求導有：

$\frac{dx}{ds} = \frac{\partial x}{\partial h} \frac{dh}{ds} + \frac{\partial x}{\partial s} \frac{ds}{ds} = \frac{\partial x}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial x}{\partial s}$

類似地得 $\frac{dy}{ds} = \frac{\partial y}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial y}{\partial s}$ 。

因為 $E$ 和 $C s$ 在該點相切，因此其切向量應平行，故有

$\frac{\partial x}{\partial t} = \lambda ( \frac{\partial x}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial x}{\partial s} )$

$\frac{\partial y}{\partial t} = \lambda ( \frac{\partial y}{\partial h} h'(s) + \frac{\partial y}{\partial s} )$

其中 $\lambda \ne 0$ 。可用此兩式消去 $h'(s)$ 。整理後得： $\frac{\partial y}{\partial h} \frac{\partial x}{\partial s} = \frac{\partial y}{\partial s} \frac{\partial x}{\partial h}$