单位根

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数学上，單位的n次根是n次冪為1的複數。它們位於複平面的单位圆上，構成正n邊形的頂點，其中一個頂點是1。

[编辑] 定义

$z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots )$

这方程的複數根z為單位的n次根。

單位的n次根有n個：

$e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)$ 。

單位的n次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是單位的n次本原根。單位的n次本原根是 $e 2π i k / n$ ，其中k和n互素。單位的n次本原根數目為歐拉函數 $\varphi (n)$ 。

單位的一次根有一個：1。

單位的二次根有兩個：+1和-1，只有-1是本原根。

單位的三次根是

$\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} ,$

其中 $i$ 複數單位；除1外都是本根根。

單位的四次根是

$\left\{ 1, +i, -1, -i \right\} ,$

其中 $+ i$ 和 $- i$ 是本原根。

當n不小於2，單位的n次根總和為0。這一結果可以用不同的方法證明。一個基本方法是等比級數：

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = \frac{e^{2 \pi i n/n} - 1}{e^{2 \pi i/n} - 1} = \frac{1-1}{e^{2 \pi i/n} - 1} = 0$ 。

另一個證法是它們在複平面上構成正多邊形的頂點，而從對稱性知這多邊形的重心在原點。