开放、中立，源自维基百科

个人工具

登录或创建账户

用搜狗搜索相关网站

双曲函数

维库，知识与思想的自由文库

跳转到: 导航, 搜索

1个分类: 函数

射线出原点交双曲线 x2 − y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的 a 被称为双曲角，是这个射线、它的关于 x 轴镜像和双曲线之间的面积。

射线出原点交双曲线

x 2 - y 2 = 1

于点

(cosh a,sinh a)

，这里的

a

被称为双曲角，是这个射线、它的关于

x

轴镜像和双曲线之间的面积。

在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推。

正如点(cos t, sin t)定义了一个圆，点(cosh t, sinh t)定义了右半直角双曲线。双曲函数也有用，因为它们出现于某些重要的线性微分方程的解中，特别是定义悬链线，和拉普拉斯方程。

双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。

目录

1 基本定义
2 与三角函数的关係
3 恆等式
4 反双曲函数
5 双曲函数的导数
6 双曲函数的积分
7 请参阅

[编辑] 基本定义

sinh, cosh 和 tanh

sinh, cosh 和 tanh

csch, sech 和 coth

csch, sech 和 coth

$\sinh x = {{e^x - e^{ - x} } \over 2}$
$\cosh x = {{e^x + e^{ - x} } \over 2}$
$\tanh x = {{\sinh x} \over {\cosh x}}$
$\coth x = {1 \over {\tanh x}}$
${\mathop{\rm sech}} x = {1 \over {\cosh x}}$
${\mathop{\rm csch}} x = {1 \over {\sinh x}}$

如同点 (cos t, sin t) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x² - y² = 1。这基于了很容易验证的恒等式

$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \,$

和性质 t > 0 对于所有的 t。

双曲函数是带有复周期 $2π i$ 的周期函数。

参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。

函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。

函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh -x 且 sinh 0 = 0。

[编辑] 与三角函数的关係

双曲函数与三角函数有如下的关係:

$\sinh x = -i \sin ix \!$

$\cosh x = \cos ix \!$

$\tanh x = -i \tan ix \!$

$\coth x = i \cot ix \!$

$\operatorname{sech} x = \sec ix \!$

$\operatorname{csch} x = i\,\csc\,ix \!$

[编辑] 恆等式

与双曲函数有关的恆等式如下:

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \,$

"加法公式"

$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,$

$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,$

$\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,$

"二倍角公式"

$\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,$

$\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,$

"半角公式"

$\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2}$

$\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}$

[编辑] 反双曲函数

主條目：反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

$\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\operatorname{arcosh}\, x = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})$

$\operatorname{artanh}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

$\operatorname{arcoth}\, x = \ln\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1} = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}$

$\operatorname{arsech}\, x = \pm \ln\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}$

$\operatorname{arcsch}\, x = \begin{cases} \ln\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x}, & \mbox{for }x < 0\!\, \\ \ln\frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x}, & \mbox{for }x > 0\!\, \end{cases}$

[编辑] 双曲函数的导数

$\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,$

$\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,$

$\frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,$

[编辑] 双曲函数的积分

$\int\sinh cx\,dx = \frac{1}{c}\cosh cx + C$

$\int\cosh cx\,dx = \frac{1}{c}\sinh cx + C$

$\int \tanh cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\cosh cx| + C$

$\int \coth cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\sinh cx| + C$

[编辑] 请参阅

来自“http://www.wikilib.com/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B0”

查看

导航

搜索

工具

其它语言

English

AD Links