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双曲线

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3个分类: 几何术语 | 几何学 | 圆锥曲线

在数学中，双曲线(希腊语 ὑπερβολή 字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是 a 的两倍，这里的 a 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a 还叫做双曲线的半实轴。焦点位于贯穿轴上它们的中间点叫做中心。

从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线

$A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,$

使得 $B^2 > 4 AC \,$ ，这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对 (x, y) 的多于一个的解。

注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。

目录

1 定义
2 笛卡尔坐标
3 极坐标
4 参数方程
5 参见
6 外部链接

[编辑] 定义

前两个上面已经列出了:

平面切直角圆锥面的两半的交截线。
与两个固定点(叫做焦点)距离差为常数的点的轨迹。
到一个焦点的距离和到一个线(叫做准线)的距离的比率是大于 1 的常数的点的轨迹。这个常数叫做双曲线的偏心率。

共轭单位直角双曲线。

共轭单位直角双曲线。

双曲线由分开两个焦点的两个分离的叫做臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近叫做渐进线的两条线。渐进线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率 $\pm \frac{b}{a}$ ，对于北南开口的双曲线有斜率 $\pm \frac{a}{b}$ 。

双曲线有个性质，出自一个焦点的射线反射于双曲线后开起来像是出自另一个焦点。

双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐进线交于直角。以坐标轴作为渐进线的直角双曲线由方程 xy=c 给出，这里的 c 是常数。

如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。

如果对双曲线方程交换 x 和 y，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐进线。

[编辑] 笛卡尔坐标

中心位于 (h,k) 的东西开口的双曲线:

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1$

中心位于 (h,k) 的北南开口的双曲线:

$\frac{\left( y-k \right)^2}{a^2} - \frac{\left( x-h \right)^2}{b^2} = 1$

实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点(拐点)。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。

在两个公式中，a 是半实轴(在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离)，而 b 是半虚轴。

如果用双曲线的两个顶点的切线交渐进线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是 2b，平行于实轴的两边的长度是 2a，注意 b 可以大于 a。

如果计算从双曲线上任意点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是 2a。

直角双曲线 R| 的图像。

直角双曲线 $y=\tfrac{1}{x}$ 的图像。

离心率给出自

$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

东西开口的双曲线的焦点是

$\left(h\pm c, k\right)$ 这里的 c 给出自 $c^2 = a^2 + b^2 \,$

北南开口的双曲线的焦点是

$\left( h, k\pm c\right)$ 这里的 c 给出自 $c^2 = a^2 + b^2 \,$

对于以坐标轴为渐进线的直角双曲线:

$(x-h)(y-k) = c \,$

这种双曲线最简单的例子是

$y=\frac{m}{x}\,$ .

[编辑] 极坐标

东西开口的双曲线:

$r^2 =a\sec 2\theta \,$

北南开口的双曲线:

$r^2 =-a\sec 2\theta \,$

北东南西开口的双曲线:

$r^2 =a\csc 2\theta \,$

北西南东开口的双曲线:

$r^2 =-a\csc 2\theta \,$

在所有公式中，中心在极点，而 a 是半实轴和半虚轴。

[编辑] 参数方程

东西开口的双曲线:

$\begin{matrix} x = a\sec t + h \\ y = b\tan t + k \\ \end{matrix}$

或

$\begin{matrix} x = a\cosh t + h \\ y = b\sinh t + k \\ \end{matrix}$

北南开口的双曲线:

$\begin{matrix} x = a\tan t + h \\ y = b\sec t + k \\ \end{matrix}$

或

$\begin{matrix} x = a\sinh t + h \\ y = b\cosh t + k \\ \end{matrix}$

在所有公式中，(h,k)是双曲线的中点，a 是半实轴而 b 是半虚轴。

[编辑] 参见

[编辑] 外部链接

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