古德曼函數

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2个分类: 函数 | 来自中文维基百科

古德曼函數，圖中的灰橫線為漸近線 $\scriptstyle{y=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!$ 。

反函數

古德曼函數（Gudermannian function）是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來。

$\textrm{gd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cosh t} = 2 \arctan(e^x) - \frac{\pi}{2}$

有以下恆等式：

$\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}\sin(\mbox{gd}(x))}}}&=\tanh(x);\quad\cos(\mbox{gd}(x))=\mbox{sech}(x);\\ \tan(\mbox{gd}(x))&=\sinh(x);\quad\;\sec(\mbox{gd}(x))=\cosh(x);\\ \cot(\mbox{gd}(x))&=\mbox{csch}(x);\quad\,\csc(\mbox{gd}(x))=\coth(x);\\ {}_{\color{white}.}\tan\left(\frac{\mbox{gd}(x)}{2}\right)&=\tanh\left(\frac{x}{2}\right).\end{align}\,\!$

反古德曼函數：

$\begin{align} \mbox{arcgd}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)=\int_0^x\frac{dp}{\cos(p)},\\ &={}\mbox{arccosh}(\sec(x))=\mbox{arctanh}(\sin(x)),\\ &={}\ln\left(\sec(x)(1+\sin(x))\right),\\ &={}\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right),\\ &={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)} .\end{align}\,\!$