向量丛

数学上,向量丛是一个几何构造，為拓扑空间(或流形,或代数簇)的每一点相容地附上一个向量空间，而这些向量空间"粘起来"又构成一个拓扑空间(或流形，或代数簇)。 一个典型的例子是流形的切丛:对流形的每一点附上流形在该点的切空间。 另一个例子是法丛:給定一个平面上的光滑曲线，可在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线；这就是曲线的"法丛"。

这个条目主要解釋有限维纤维的实向量丛。複向量丛也在很多地方有用；他们可以视为一種有附加结构的实向量丛。

向量丛是纤维丛的一種

[编辑] 定义和直接的结果

一个实向量丛又以下数据给出：

• 一个拓扑空间X("基空间")和E("全空间")
• 一个连续映射 π : E → X ("投影")
• 对X中的每个x,纤维上的实向量空间π⁻¹({x})满足以下相容性条件:对X中的一点有一个开邻域U，一个自然数n,和一个同胚 φ : U × Rⁿ → π⁻¹(U) 使得对U中的每点x:
• πφ(x,v) = x 对所有Rⁿ中的v成立
• 映射v |-> φ(x,v)导出一个向量空间Rⁿ和π⁻¹({x})的同构.

开邻域U和同胚φ 合起来叫做丛的局部平凡化。这表示映射π 在局部看起来像U × Rⁿ 到U上的投影.

向量丛称为平凡，如果有一个"整体平凡化", 也就是如果它看起来像X × Rⁿ → X.

每个向量丛π : E → X是满射,因为向量空间不能为空集。

每个纤维π⁻¹({x})是一个有限维实向量空间，所以有一个 [维数]] d_x.函数x |-> d_x是局部常数,也就是它在所有X的连通分支上常数。如果它在X上是全局常数的话，我们把这个维数叫做向量丛的阶。一阶向量丛也叫线丛。

[编辑] 向量丛态射(vector bundle morphism)

一个从向量丛 π₁ : E₁ → X₁ 到向量丛π₂ : E₂ → X₂ 的态射(morphism)是一对连续映射 f : E₁ → E₂ 和g : X₁ → X₂ 使得

• gπ₁ = π₂f

• 对于每个X₁中的x,由f诱导的映射π₁⁻¹({x}) → π₂⁻¹({g(x)})是一个向量空间的线性变换。

所有向量丛的类和丛的射组成了一个范畴.限制到光滑流形和光滑丛射，我们就有了光滑向量丛的范畴。

我们可以考虑有一个固定基空间X的所有向量丛组成的范畴。我们取那些在基空间X上为恒等映射(identity map)的射作为在这个范畴中的射. 也就是说，丛射满足下面的交换图:

(注意这个范畴不是可交换的；向量丛的射的核通常不能很自然的成为一个向量丛]]。)

[编辑] 截面和局部自由层

给定一个向量丛 π : E → X 和一个开子集U, 我们可以考虑π 在 U 上的截面, 也就是连续函数s : U → E 满足 πs = id_U. 本质上，截面给U的每一点一个从附在该点的向量空间中所取的向量，取值要有连续性。

例如，微分流形的切丛的截面就是流形上的向量场。

令F(U)为U上所有截面的集合. F(U) 总有至少一个元素:把V中的x映射到π⁻¹({x})的零元素的函数s. 使用每点的加法和数乘，F(U)本身也成为了向量空间. 这些向量空间的总和就是X上的向量空间的层。

若s属于F(U)而α : U → R是一连续映射，则αs 属于F(U). 我们可以看到F(U)是一个 U上的连续实值函数的环上的模. 进一步讲，若O_X表示X上连续函数的层结构,则F是 O_X-模的一个层.

不是O_X-模的每个层都是以这种方式从向量丛的导的:只有局部自由层可以从这种方法得到。(理由:局部的，我们要找一个投影U × Rⁿ → U的一个截面，这些恰好是连续函数U → Rⁿ, 并且这一函数是连续函数U → Rn-元组 .)

更进一步讲:X上的实向量丛的范畴是等价于O_X-模的局部自由和有限生成的层的。

所以我们可以将向量丛视为位于O_X-模的层的范畴内; 而后者是可交换的，所以我们可以计算向量丛的射的核。

[编辑] 向量丛上的操作

两个X上的在同一个域上的向量丛,有一个惠特尼和,在每点的纤维为那两个丛的纤维的直积。同样，纤维向量积和对偶空间丛也可以这样引入。

[编辑] 变种和推广

向量丛是纤维丛的特例，大致的说，就是纤维是向量空间的纤维丛。

光滑向量丛定义为满足E和X是光滑流形， π : E → X 是光滑映射, 而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量丛。

把实向量空间换成复的，就得到了复向量丛。这是丛结构群归约的特例。也可以用其他拓扑域上的向量空间，但相对比较少见。

如果我们允许在局部平凡化中使用任意巴拿赫空间(而不仅是Rⁿ),就可以得到巴拿赫丛.

[编辑] 参考

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.5.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.5.