向量空间

向量空間（或称線性空間）是線性代數研究的基本对象。

若考慮幾何學上的向量，相关的向量運算如向量加法，標量乘法，以及一些運算的规律如封闭性，结合律，我們便已大致地描述了“向量空間”这个數學概念。

這個“向量”可以不是幾何的向量，只要符合向量空間公理的任何数学概念，都可以被当作向量。譬如一個實系數多項式產生的向量空間。這個抽象的特性使得向量空间理论适用于現代數學的很多领域。

[编辑] 嚴謹的定義

給出域 F，一個向量空間是個集合 V 加上兩個運算：

• 向量加法：V × V → V 記作 v + w, ∃ v, w ∈ V，
• 標量乘法：F × V → V 記作 a v, ∃a ∈ F 及 v ∈ V。

都符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：

1. 向量加法符合結合律：u + (v + w) = (u + v) + w.
2. 向量加法符合交換律: v + w = w + v.
3. 向量加法有單位元: V 裡有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v.
4. 向量加法有逆元素: ∀v∈V, ∃w∈V, 導致 v + w = 0.
5. 標量乘法分配于向量加法上: a(v + w) = a v + a w.
6. 標量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v.
7. 標量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v。
8. 標量乘法有單位元: 1 v = v, 這裡 1 指示域 F 的乘法單位元.

注意第七个公理涉及两种运算不称其为符合結合律。

有些文献包括两个闭包公理：

1. V 閉合在向量加法下：v + w ∈ V.
2. V 閉合在標量乘法下: a v ∈ V.

簡而言之，向量空間是一個F-模。

V的成員叫作向量而F的成員叫作標量

• 若F是實數域R，V稱為實數向量空間.
• 若F是複數域C，V稱為複數向量空間.
• 若F是有限域，V稱為有限域向量空間
• 對一般域F，V稱為F-向量空間

[编辑] 基礎特性

首5個公理是說明向量V在向量加法中是個可換群.餘下的5個公理應用於標量乘法.

這些都是一些特性很容易從向量空間公理推展出來的.如下:

• 零向量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的.
• a 0 = 0 ∀ a ∈ F.
• 0 v = 0 ∀ v ∈ V 這裡 0 是F的加法單位元.
• a v = 0 唯一的假定便是 a = 0 或 v = 0.
• 可加的逆元向量 v (公理4) 是唯一的. (寫成−v). 這個寫法v − w 及 v + (−w) 都是標準的.
• (−1)v = −v ∀ v ∈ V.
• (−a)v = a(−v) = −(av) ∀ a ∈ F , ∀ v ∈ V.

[编辑] 例子

參見 向量空間例子

[编辑] 子空間及基

一個向量空間 V 的一個非空子集合 W 在加法及標量乘法中表現密閉性，被稱為 V 的線性子空間。

給出一個向量集合 B，載着它的最小子空間，稱為它的擴張，紀作 span(B)。

姶出一個向量集合 B，若它的擴張就是向量空間 V， 稱 B 為 V 的生成集。

一個向量空間 V 最大的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若 V=0，唯一的基是空集。對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集。

向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如,實數向量空間：R⁰, R¹, R², R³, …, R^∞, …中， Rⁿ 的維度就是 n。

空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以座標系統來呈現。

[编辑] 線性映射

給兩個向量空間 V 和 W 在同一個F場, 設定由V到W的線性變換或“線性映射” . 這些由V到W的映射都有共同點就是它們保持總和及標量商數.這個集合包含所有由V到W的線性映射,以 L(V, W) 來描述, 也是一個F場裡的向量空間. 當 V 及 W 被確定後, 線性映射可以用矩陣來表達.

同構是一對一的一張線性映射.如果在V 和W之間存在同構, 我們稱這兩個空間為同構;他們根本上是然後相同的。

一個在F場的向量空間加上線性映射就可以構成一个范畴，即阿贝尔范畴。

[编辑] 概念化及額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下︰

• 一個真實或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為線性賦範向量空間。
• 一個真實或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為 內積空間。
• 一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。
• 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）是個域代數。

[编辑] 參考

• 線性代數
• 空間向量 - 物理學的向量pms:Spassi vetorial