哈密顿-雅可比理论

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在物理和数学上，哈密尔顿－雅可比方程(HJE)是一个特殊的经典哈密尔顿量的标准变换，其结果是一个一阶非线性微分方程，它们的解表述了系统的行为。这和哈密尔顿运动方程不同之处在于HJE是一个单独的微分方程，一个变量代表一个坐标值，而哈密尔顿方程是一个一阶方程的系统，每个坐标两个方程。HJE可以漂亮地解决好几个问题，例如开普勒问题。若我们有一个形为 $H(q_1,\dots,q_n;p_1,\dots,p_n;t)$ 的哈密尔顿量，则该系统的HJE是

$H\left(q_1,\dots,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.$

在该HJE中，S就是经典作用量。

[编辑] 标准变换

HJE来自如下现象：如果对于任何生成函数 $S (q, p', t)$ （忽略指标），运动方程对于H(q,p,t)和H'(q',p',t)是一样的，只要

$(1) \qquad {\partial S \over \partial q} = p, \qquad {\partial S \over \partial p'} = q', \qquad H' = H + {\partial S \over \partial t}$

而新运动方程就成了

$(2) \qquad {\partial H' \over \partial q'} = - {dp' \over dt}, \qquad {\partial H' \over \partial p'} = {dq' \over dt}.$

HJE来自于使得H'恒为0的生成函数S. 在这个情况下，其所有导数也为0，因此

$(3) \qquad {dp' \over dt} = {dq' \over dt} = 0.$

这样，在带撇的坐标系中，系统在相空间中完全静止。不过，我们还没有决定哪个生成函数可以完成这样一个到带撇坐标系的变换，所以我们可以使用以下事实：

$H'(q',p',t) = H(q,p,t) + {\partial S \over \partial t} = 0.$

因为方程Eq. (1)给出 $p=\partial S/\partial q$ ，这可以改写为

$H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,$

也就是HJE.

[编辑] 求解过程

HJE经常采用分离变量法求解，因此

$S=S_1(q_1;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+S_2(q_2;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+\cdots+S_n(q_n;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+at,$

其中 $α i$ 和 $a$ 是求解(n + 1)-变量一阶微分方程的积分常数，而且是带撇坐标标架中的标准的动量p'。我们采用变量名 $α$ 来强调一下事实：带撇坐标系中，所有的动量为常数，如方程Eq. (3)所示。因此，根据方程Eq. (1)，

$(4) \qquad q'=\beta={\partial S(q,\alpha,t) \over \partial \alpha}.$

最后，如果我们逆转方程Eq. (4)，就可以将q用常数 $α$ 和 $β$ 以及时间t来表达。这完全的解决了这个系统 - $α$ 和 $β$ 给定了系统的初始条件，并且方程Eq. (4)的逆所给出的解高速我们未来任何石刻的位置信息。每个坐标有两个初始条件的原因是每个坐标有一个初始值也有一个初始动量，都必须计入最后的解中。

[编辑] 参考

H. Goldstein (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0201657023.

A. Fetter and J. Walecka (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 0486432610.

[编辑] 参看

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