圆锥曲线

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2个分类: 几何术语 | 圆锥曲线

圆锥曲线的类型

在数学中，圆锥曲线(或二次曲线)是通过平切圆锥(更精确的说一个正圆锥面和一个平面相切)得到的曲线。圆锥曲线在公元前 200 年就被命名和研究了，那时 Apollonius of Perga 对它们的性质作了系统的研究。

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圆锥曲线

两个周知的圆锥曲线是圆和椭圆。这出现在圆锥和平面的交截线是闭合曲线的时候。圆是椭圆的特殊情况，这时平面垂直于圆锥的轴线。如果平面平行于圆锥的母线(generator line)，则圆锥曲线叫做抛物线。最后，如果交线是开曲线并且平面不平行于圆锥的母线，则圆锥曲线是双曲线。(在这个种情况平面将交截圆锥的两段，而生成两个分开的曲线，尽管经常忽略一个。)

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

[编辑] 离心率

有固定焦点 F 和准线的椭圆 (e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线 (e=2)。

上述四个条件可以被合并为依赖固定的一个点 F(焦点)和不包含 F 的一个线 L(准线)和一个非负实数 e(离心率) 的一个条件。对应的圆锥曲线由到 F 的距离等于 e 乘以它们到 L 的距离的所有点组成。对于 0 < e < 1 得到椭圆，对于 e = 1 得到抛物线，对于 e > 1 得到双曲线。

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是 $a/e \$ ，这里的 $a \$ 是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是 $ae \$ 。

在圆的情况下，e = 0 且准线被假想得离中心无限远。这时声称圆由距离是到 L 的距离的 e 倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的 $a \$ , $e \$ 越接近于 1，半短轴就越小。

[编辑] 笛卡尔坐标

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像总是圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\;$ 有着 $A \$ , $B \$ , $C \$ 不都是零。

则:

如果，方程表示椭圆 (除非圆锥曲线退化了，例如 )；
- 如果 $A = C \$ 且 $B = 0 \$ ，方程表示圆；
如果 $B^2 - 4AC = 0 \$ ，方程表示抛物线；
如果，方程表示双曲线；
- 如果还有 $A + C = 0 \$ ，方程表示直角双曲线。

注意这里的 A 和 B 就是多项式系数，不是前面定义的半长/短轴的长度。

通过坐标变换这些方程可以变为标准形式:

	圆	椭圆	抛物线	双曲线
标准方程	${x^2} + {y^2}=a^2 \$	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}=1 \$	$y^2=4ax\,$	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1 \$
参数方程	$(a\cos\theta,a\sin\theta)\,$	$(a\cos\theta,b\sin\theta)\,$	$(a t^2,2 a t)\,$ ,	$(a\sec\theta,b\tan\theta)\,$ 或 $(\pm a\cosh u,b \sinh u)\,$

[编辑] 极坐标

椭圆的半正焦弦

圆锥曲线的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示为 l，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴 a，和半短轴 b，通过公式 $al=b^2 \$ 或 $l=a(1-e^2) \$ 。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正 x 轴上，给出自方程

$r = {l \over (1 + e \cos \theta) }$ .

如上，对于 e = 0 得到一个圆，对于 0 < e < 1 得到椭圆，对于 e = 1 得到抛物线，对于 e > 1 得到双曲线。

[编辑] 齐次坐标

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:

$A_1x^2 + A_2y^2 + A_3z^2 + 2B_1xy + 2B_2xz + 2B_3yz = 0\;$

或表示为矩阵：

$\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0$

矩阵 $M=\begin{bmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{bmatrix}$ 叫做“圆锥曲线矩阵”。

$\Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A_1 & B_1 & B_2\\B_1 & A_2 & B_3\\B_2&B_3&A_3\end{vmatrix}$ 叫做圆锥曲线的行列式。如果 Δ = 0 则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合。与自身相交的圆锥曲线总是退化的，但是不是所有的圆锥曲线都与自身相交，如果它们都是直线的话。

例如，圆锥曲线 $\begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0$ 简约为两个直线的联合: $\{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}$ 。类似的，圆锥曲线有时简约为一个(单一)直线: $\{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}$ 。

$\delta = \begin{vmatrix}A_1 & B_1\\B_1 & A_2\end{vmatrix}$ 被称为圆锥曲线的判别式。如果 δ = 0 则圆锥曲线是抛物线，如果 δ<0 则是双曲线，如果 δ>0 则是椭圆。圆锥曲线是圆，如果 δ>0 且 A₁ = A₂；它是直角双曲线，如果 δ<0 且 A₁ = -A₂。这可以在复投影平面 CP² 中证明，两个圆锥曲线共有四个点(如果考虑多重性)，所以永不多于 4 个交点并总有 1 个交点(可能性: 4 个不同的交点，2 个单一交点和 1 个双重交点，2 个双重交点，1 单一交点和 1 个三重交点，1 个四重交点)。如果存在至少一个多重性 > 1 的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果交点是双重的，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是 (1,i,0) 和 (1,-i,0)，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线不是椭圆不是双曲线。