域 (數學)

在抽象代数中，域（field），又譯體(Körper, corps, 和場 Field, champ不同)，是可進行加、減、乘和除（除了除以零之外）運算的代數結構。

[编辑] 定义

[编辑] 定义 1

域是交换性除环。

[编辑] 定义 2

域是一種交換環 (F, +, *)，當中加法單位元（0）不等於乘法單位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。

[编辑] 定义 3

域明确的满足如下性质：

在加法和乘法上封閉 

對所有屬於F的a,b，a + b和a * b屬於F（另一種說法：加法和乘法是F上的二元運算）。

加法和乘法符合結合律 

對所有屬於F的a,b,c，(a + b) + c = a + (b + c)，(a * b) * c = a * (b * c)

加法和乘法符合交換律 

對所有屬於F的a,b,, a + b = b + a，a * b = b * a

符合乘法對加法的分配律 

對所有屬於F的a,b,c，a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

存在加法單位 

在F中有元素0，使得所有屬於F的a，a + 0 = a

存在乘法單位 

在F中有元素1，使得所有屬於F的a，a * 1 = a

存在加法逆元 

對所有屬於F的a，存在 − a使得a + ( − a) = 0

存在乘法逆元 

對所有，存在元素使得a * a ^{− 1} = 1

[编辑] 基本性质

• 域F中的所有非零元素的集合(一般记作F^×) 是一个关于乘法的阿贝尔群。F^×的每个有限子群都是循环群.

• 任意一个有限域的元素个数是一个素数的乘方。

• 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1 (n 个1)，那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征，特征要么是一个素数 p，要么是0（表示这样的n不存在）。 此时 F 中最小的子域分别是 或有限域 ，称之为 F 的素域。

• 一个交换环是域当且仅当它的理想 只有自身和零理想。

• 在选择公理成立的假设下，对每个域F都存在着唯一的一个域G（在同构意义上），G包含F，G是F的代数扩张，并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说G是F的一个代数闭包。

[编辑] 參見

• 特徵 (代数)
• 環論
• 域論