基 (線性代數)

在线性代数中，基是其线性组合可以表示在给定向量空间中的所有向量的向量的集合，并使得这个集合元素不能由其他元素的线性组合表示。换句话说，基是线性无关生成集。

[编辑] 定义

在 R² 中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。

向量空间 V 的基 B 是 V 的可扩张出 V 的线性无关子集。

更详细的说，假设 B = { v₁, …, v_n } 是在域 F 上的向量空间 V 的有限子集(比如实数 R 或 复数 C)。则 B 是基，如果它满足下列条件:

• 线性无关性，

对所有 a₁, …, a_n ∈ F，如果 a₁v₁ + … + a_nv_n = 0，则必然 a₁ = … = a_n = 0；和

• 扩张性，

对于所有 V 中的 x，可以选择 a₁, …, a_n ∈ F 使得 x = a₁v₁ + … + a_nv_n。

有有限基的向量空间叫做有限维的。要处理无限维的空间，必须把上述定义推广为包括无限的基集合。因此称一个集合 (有限或无限) B ⊂ V 是基，如果

• 所有有限子集 B₀ ⊆ B 服从上述无关性；而
• 对于所有 V 中的 x 可以选择 a₁, …, a_n ∈ F 和 v₁, …, v_n ∈ B 使得 x = a₁v₁ + … + a_nv_n。

向量空间的公理不允许我们谈论向量的无限和。这是上述定义中和都是有限的的原因。

按指定次序排列基向量经常是更加便利的，例如在考虑关于一个基的线性映射的变换矩阵的时候。我们接着讨论定义为能扩展出 V 的线性无关的向量序列的有序基。

[编辑] 性质

B 指示向量空间 V 的子集。则 B 是基，当且仅当满足了下列任一条件:

• B 是 V 的极小生成集，就是说只有它能而它的子集不能生成全部的向量空间。
• B 是线性无关向量的极大集合，就是说它是线性无关集合并且没有其他线性无关集合包含它作为真子集。
• 所有 V 中向量可以按唯一方式表达为 B 中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

所有向量空间有一个基的定理是良序定理或任何选择公理的等价物的推论。(证明: 良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都用同样的势(元素数目=)，叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

[编辑] 例子

• 考虑所有坐标 (a, b) 的向量空间 R²，这里的 a 和 b 都是实数。则非常自然和简单的基就是向量 e₁ = (1,0) 和 e₂ = (0,1): 假设 v = (a, b) 是 R² 中的向量，则 v = a (1,0) + b (0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1) 和 (−1,2)，也形成 R² 的一个基。

• 更一般的说，向量 e₁, e₂, ..., e_n 是线性无关的并生成 Rⁿ。因此，它们形成了 Rⁿ 的一个基而 Rⁿ 的维度是 n。这个基叫做标准基。

• 设 V 是由函数 e^t 和 e^2t 生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了 V 的基。

• 设 R[x] 指示所有实数多项式的向量空间；则 (1, x, x², ...) 是 R[x] 的基。R[x] 的维度因此等于 aleph-0。

[编辑] 基的扩展

如上所述基是极大线性无关集合和极小生成集合。在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一个基。更形式的说: 如果 L 是在向量空间 V 中的线性无关集合而 G 是包含 L 的 V 的生成集合，则存在V 的一个基，它包含了 L 并被包含在 G 中。特别是(采取 G = V)，任何线性无关集合 L 可以被扩展来形成 V 的一个基。这些扩展不是唯一的。

[编辑] 证明一个集合是基

要证明一个集合 B 是(有限维)向量空间 V 的一个基，证明 B 中元素数目等于 V 的维度和下列之一就足够了:

• B 是线性无关的，或
• span(B) = V。

[编辑] 有序基和坐标

基就是没有给定次序的集合。对于很多用途，采用有序基是更加方便的。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。对于有限维向量空间，典型的用前 n 个整数索引一个基 {v_i}。有序基也叫做框架。

假设 V 是在域 F 上的 n-维向量空间。V 的一个选定的有序基等价于从坐标空间 Fⁿ 到 V 的洋选定线性同构 φ。

证明。这个证明利用了 Fⁿ 的标准基是有序基的事实。

首先假设

φ : Fⁿ → V

是线性同构。定义 V 的有序基为 {v_i}

v_i = φ(e_i) 对于 1 ≤ i ≤ n

这里的 {e_i} 是 Fⁿ 的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

φ(x) = x₁v₁ + x₂v₂ + ... + x_nv_n,

这里的 x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n 是 Fⁿ 的一个元素。不难检查出 φ 是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以 V 的有序基一一对应于线性同构 Fⁿ → V。

确定自有序基 {v_i} 线性映射 φ 的逆映射为 V 装备了坐标: 如果对于向量 v ∈ V, φ^-1(v) = (a₁, a₂,...,a_n) ∈ Fⁿ，则 a_j = a_j(v) 的分量是 v 的坐标，在 v = a₁(v) v₁ + a₂(v) v₂ + ... + a_n(v) v_n 的意义上。

从向量 v 到分量 a_j(v) 的映射是从 V 到 F 的线性映射，因为 φ^-1 是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成 V 的对偶空间的基，叫做对偶基。

[编辑] 有关概念

有时使用术语Hamel基(或代数基)来称呼上文定义的基，这里在线性组合 a₁v₁ + … + a_nv_n 中项的数目总是有限的。

在希尔伯特空间和其他巴拿赫空间中，需要处理无限多向量的线性组合。在无限维的希尔伯特空间中，相互正交的向量的集合可能永不能通过有限线性组合扩展出整个空间。所谓的正交基是通过有时无限的线性组合扩展出这个空间的相互正交的单位向量的集合。除了在有限维情况之外，这个概念不纯粹是代数的，而区别于 Hamel基；它也是更一般性有用的。“无限维希尔伯特空间的正交基因此不是 Hamel基”。

在拓扑向量空间中，非常一般的说，可以定义“无限和”(无穷级数)并表达这个空间的元素为其他元素的特定“无限线性组合”。要清楚的区分使用有限和无限组合的基，前者被叫做“Hamel基” 而后者被叫做“Schauder基”，如果上下文需要的话。对应的维度叫做Hamel维度和“Schauder维度”。

[编辑] 例子

在傅立叶级数的研究中，函数 {1} ∪ { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... } 是所有的在区间 [0, 2π] 上为平方可积分的(实数或复数值)的函数的(实数或复数)向量空间的“正交基”，这种函数 f 满足

函数 {1} ∪ { sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... } 是线性无关的，所有在 [0, 2π] 上平方可积分的函数 f 是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

对于适合的(实数或复数)系数 a_k, b_k。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成 Hamel 基。这个空间的所有 Hamel 基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的 Hamel 基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

[编辑] 参见

• 线性代数
• 线性组合

[编辑] 外部链接

• MIT Linear Algebra Lecture on Bases at Google Video, from MIT OpenCourseWare