塞瓦定理

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2个分类: 平面幾何 | 几何定理

塞瓦線段（cevian）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果 $\triangle ABC$ 的塞瓦線段AD、BE、CF通过同一点O，则

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1$

它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在 $\triangle ABC$ 的边BC、CA、AB或其延长线上，且满足

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1$ ，

则直线AD、BE、CF共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当AD、BE、CF中的任意两直线平行时，则三直线平行。

它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明。

[编辑] 证明

∵ $\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ODC}}$

由等比性质：

$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\triangle ABD} - S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ADC} - S_{\triangle ODC}}=\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CAO}}$

同理可证

$\frac{CE}{EA}=\frac{S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}}$ ， $\frac{AF}{FB}=\frac{S_{\triangle CAO}}{S_{\triangle BCO}}$

∴ $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle CAO}} \cdot \frac{S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle ABO}} \cdot \frac{S_{\triangle CAO}}{S_{\triangle BCO}}=1$ 。证毕。

[编辑] 系理：角平分線定理

在三角形 $A B C$ ，角A的角平分線交 $B C$ 於 $D$ ， $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ 。

[编辑] 另見

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