外微分

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微积分学
微积分基础函数初等函数极限数列夹挤定理连续间断点一元微积分导数与微分高阶导数介值定理中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式洛必达法则导数的函数应用极值凹凸性曲率积分不定积分积分表三角函数积分表反函数积分表反双曲函数积分表对数函数积分表指数函数积分表无理函数积分表有理函数积分表定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式多元函数积分重积分二重-三重-多重广义重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程差分方程拉普拉斯变换法微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。

[编辑] 定义

一个k阶的微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。

对于一个k-形式ω = f_I dx_I在Rⁿ上，其定义如下：

$d{\omega} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_I}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_I.$

对于一般的k-形式 Σ_I f_I dx_I （其中多重指标I取遍所有{1, ..., n}的基数为k的有序子集），我们只作了线性推广。注意如果上面有 $i = I$ 则 $dx_i \wedge dx_I = 0$

（参看楔积）。

[编辑] 性质

外微分满足三个重要性质：

线性

楔积法则（参看反求导）

$d(\omega \wedge \eta) = d\omega \wedge \eta+(-1)^{{\rm deg\,}\omega}(\omega \wedge d\eta)$

d² = 0，蕴涵了混合偏导数的恒等式的公式，所以总有

$d(d\omega)=0 \, \!$

可以证明外微分由这些性质和其与0-形式（函数）上的微分的一致性唯一决定。

d的核由闭形式组成，而其像由恰当形式组成（参看恰当微分）。

[编辑] 坐标不变公式

给定一个k-形式ω和任意光滑向量场V₀,V₁, …, V_k我们有

$d\omega(V_0,V_1,...V_k)=\sum_i(-1)^i V_i\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)$

$+\sum_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([V_i,V_j],V_0,...,\hat V_i,...,\hat V_j,...,V_k)$

其中 $[V i, V j]$ 表示李括号，而帽子记号表示省略该元素: $\omega(V_0,...,\hat V_i,...,V_k)=\omega(V_0,..., V_{i-1},V_{i+1}...,V_k).$

特别的有，对于1-形式，我们有：

d ω(X, Y) = X (ω(Y)) - Y (ω(X)) - ω([X, Y]).

更一般的，李导数由李括号定义：

$\mathcal{L}_XY=[X,Y]$ ,

而一般微分形式的李导数和外微分密切相关。区别主要是记号上的；各种两者之间的恒等式可以在李导数条目找到。

[编辑] 微积分中的外微分

下面的对应关系揭示了向量微积分的一堆公式实际上只是上述外微分的三个法则的特殊情况而已。

[编辑] 梯度

对于一个0-形式，也就是一个光滑函数f: Rⁿ→R，我们有

$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, dx_i.$

所以，对于向量场 $V$

$df(V) = \langle \mbox{grad }f,V\rangle,$

其中grad f代表f的梯度而<•, •>是标量积。

[编辑] 旋度

对于一个1-形式 $\omega=\sum_{i} f_i\,dx_i$ 在R³上，

$d \omega=\sum_{i,j}\frac{\partial f_i}{\partial x_j} dx_j\wedge dx_i,$

它限制到三维情况 $\omega= u\,dx+v\,dy+w\,dz$ 就是

$d \omega = \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) dx \wedge dy + \left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right) dy \wedge dz + \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right) dz \wedge dx.$

因此，对于向量场 $U$ , $V = [u, v, w]$ 和 $W$ 我们有 $d \omega(U,W)=\langle\mbox{curl}\, V \times U,W\rangle$ 其中curl V代表V的旋度 ×是向量积，而<•, •>是标量积。

[编辑] 散度

对于一个2-形式 $\omega = \sum_{i,j} h_{i,j}\,dx_i\wedge dx_j,$

$d \omega = \sum_{i,j,k} \frac{\partial h_{i,j}}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j.$

对于三维，若 $\omega = p\,dy\wedge dz+q\,dz\wedge dx+r\,dx\wedge dy$ 我们得到

$d \omega\,$	$= \left( \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial q}{\partial y} + \frac{\partial r}{\partial z} \right) dx \wedge dy \wedge dz$
	$= \mbox{div}V\, dx \wedge dy \wedge dz,$