学生t-分布

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**学生t 分布**
概率密度函數
累積分佈函數
參數	$\nu > 0\!$ 自由度
函数支撑	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
概率密度函數	$\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)\,(1+x^2/\nu)^{(\nu+1)/2}}\!$
累積分佈函數	$\frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( (\nu+1)/2 \right) \,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},(\nu+1)/2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\nu/2)}$ 其中： $\,_2F_1$ 是超几何函数
期望值	$0$ for $ν > 1$ , undefined for $ν = 1$
中位數	$0$
眾數	$0$
方差	$\frac{\nu}{\nu-2}\!$ for $ν > 2$ , otherwise infinite
偏度	$0$ for $ν > 3$
峰度	$\frac{6}{\nu-4}\!$ for $ν > 4$
信息熵	$\begin{matrix} \frac{\nu+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+\nu}{2}) - \psi(\frac{\nu}{2}) \right] \\[0.5em] + \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}$ $ψ$ : 双Γ函数, $B$ : 贝塔函数
動差生成函數	未定义
特性函数

在概率论和统计学中，学生t 分布（Student's t-distribution）应用在当对呈正态分布的母群体的均值进行估计，而样本很小的情况下。它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t 检验的基础。

当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t 分布。

[编辑] 描述

假设X₁, ..., X_n是呈正态分布的独立的随机变量（随机变量的期望值是μ，方差是σ²）。让：

$\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$

为样本均值。

${S_n}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2$

为样本方差。

它显示了数量

$Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$

呈正态分布并且均值和方差分别为0和1。另一个相关数量

$T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}}$

T 的机率密度函数是：

$f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}$

$ν$ 等于n − 1。 T 的分布称为t 分布。参数 $ν$ 一般被称为自由度。

$Γ$ 是伽玛函数。

分布的矩为：

$E(T^k)=\begin{cases} 0 & \mbox{k odd}, 0<k< \nu\\ \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{n-k}{2})^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})} & \mbox{k even}, 0<k< \nu\\ \mbox{NaN} & \mbox{k odd}, 0<\nu\leq k\\ \infty & \mbox{k even}, 0<\nu\leq k\\ \end{cases}$

[编辑] 学生t 分布置信区间的推导

假设数量A 在当T 呈t 分布（T 的自由度为n − 1）满足

$\Pr(-A < T < A)=0.9\,$

这与

$\Pr(T < A) = 0.95\,$ 是相同的

A是这个概率分布的第95个百分点

那么

$\Pr\left(-A < {\overline{X}_n - \mu \over S_n/\sqrt{n}} < A\right)=0.9,$

等价于

$\Pr\left(\overline{X}_n - A{S_n \over \sqrt{n}} < \mu < \overline{X}_n + A{S_n \over \sqrt{n}}\right) = 0.9$

因此μ的90%置信区间为：

$\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}$

[编辑] 表格

$ν$	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
$\infty$	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291

给定一个样本：样本均值和方差分别为10和2，样本大小为11（自由度为10）。

我们用公式：

$\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}$

所以在90%置信度下，真正的均值位于：

$10\pm1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=[9.41490,10.58510]$

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