对称群 (n次对称群)

维库，知识与思想的自由文库

数学上，集合X上的对称群记作S_X或Sym(X)。它的元素是所有X到X自身的双射组成的集合。由于恒等函数是双射，双射的反函数也是双射，并且两个双射的复合仍是双射，这个集合关于函数的复合成为群，即是置换群Sym(X)。两个函数的复合一般记作f o g，在置换群的表示里简记作fg。

目录 1 有限置换群 2 置换的乘积 3 对换 4 轮换 5 共轭类 6 Cayley定理

[编辑] 有限置换群

各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。

令X = {1,...,n},

称X上的对称群是S_n。 X上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，S_n有n! 个元素。对n > 2，S_n不是阿贝尔群。当且仅当n ≤ 4时，S_n是可解群。对称群的子群称为置换群（en:permutation group）。

[编辑] 置换的乘积

对称群中，两个置换的乘积就是作为双射的复合，只不过省略了符号"o"。例如:

f乘以g将1首先变换成2然后从2在变换到2自己; 2到5再到4; 3到4然后到5，如此类推。f乘以g是：

.

容易证明长度为L =k·m的轮换，的k次方会分解为k个长度为m的轮换。比如：

[编辑] 对换

对换指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换，例如(1 3)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的 g = (1 2)(2 5)(3 4)。

由于g能被写成奇数个对换的乘积，g是一个奇置换。与此相反的，f是一个偶置换。

一个置换表达成对换乘积的方式不是唯一的，但每种表达方式中对换的个数的奇偶性不变，可以据此定义奇置换和偶置换。

两个偶置换的乘积是偶置换，两个奇置换的乘积是偶置换，奇置换和偶置换的乘积是奇置换，偶置换和奇置换的乘积是奇置换。于是可以定义置换的sign：

在这个定义下，

sgn: S_n → {+1,-1}

是一个群同态。({+1,-1} 关于乘法构成群)，这个同态的同态核是所有的偶置换，称作n次交替群(en:alternating group)，记作A_n。它是S_n的正规子群，有n! / 2 个元素。

置换的sign也可以定义为：

其中n-O(n)表示置换f的轮换指数，O(n)表示置换f的轨道(orbit)数。

[编辑] 轮换

轮换指一种置换f，使得对集合{1,...,n}中的某个 x，x, f(x), f²(x), ..., f^k(x) = x 是f作用下不映射到自身的所有元素。比如说，以下的置换h

就是一个轮换。因为 h(1) = 4, h(4) = 3，h(3) = 1。2，5不变。我们将这个轮换记作(1 4 3)，它的长度是3。轮换的阶数等于它的长度。如果两个轮换移动的元素皆不相同，则称它们不交。不交的轮换是可交换的，例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每个S_n 中的元素都可以写成若干个互不相交的轮换的乘积。如果不计轮换的排列次序，这种表示是唯一的。

[编辑] 共轭类

S_n的共轭类是对于置换轮换表达的结构来说的。两个置换共轭，当且仅当在它们的轮换表达中，轮换的数量以及长度都相等。比如说，在S₅中， (1 2 3)(4 5)与(1 4 3)(2 5)共轭，但不与(1 2)(4 5)共轭。

[编辑] Cayley定理

参见主条目：Cayley定理

开莱（Cayley）定理：任意群G都与某个变换群同构。

推论：任意有限群都与某个置换群同构。

与抽象代数相关主题

代数系统 | 群 | 半群 | 幺半群 | 环 | 整环 | 除环 | 多项式环 | 域 | 伽罗瓦域 | 本原元 | 格

同态 | 同构 | 商结构(商系统)