射影分解

在同調代數中，一個阿貝爾範疇 $\mathcal{A}$ 中的對象 $A$ 之射影分解定義為一個正合序列

$\cdots \longrightarrow P_{n} \longrightarrow P_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow A \longrightarrow 0$

或簡寫成 $P_\bullet \rightarrow A \rightarrow 0$ ，使得其中每個 $P n$ 皆為射影對象。對任一對象 $A$ ，任兩個射影分解至多差一個鏈複形的同倫等價。

若 $\mathcal{A}$ 中的每個對象都有射影分解，則稱 $\mathcal{A}$ 有充足的射影元，這類範疇上能以射影分解開展同調代數的研究。典型例子包括：

環 $R$ 上的模構成之範疇 $\mathbf{Mod}_R$ ，這是交換代數的主要對象。模上射影分解的特例是自由分解，此時我們要求每個 $P_\bullet$ 都是自由模；由於任何模均可表成自由模的商，自由分解總是存在的。希爾伯特合衝定理斷言：若取 $R$ 為域上的多項式環，則自由分解在有限步之內停止。
群 $G$ 的 $G$ -模範疇 $G-\mathbf{Mod}$ ，也就是帶有 $G$ 的群作用的阿貝爾群，此範疇上能定義群上同調。