射影模

在交換代數中，一個環 $R$ 上的射影模是自由模的推廣，它有多種等價的定義；就幾何的觀點，射影模之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢。在範疇論的語言中，射影模可以推廣為一個阿貝爾範疇中的射影對象。

射影模首見於亨利·嘉當與薩穆埃爾·艾倫貝格的重要著作 Homological Algebra，由此定義的射影分解是同調代數的基本概念之一。

目录

1 定義
- 1.1 自由模的直和項
- 1.2 提昇性質
2 向量叢與局部自由模
3 性質
4 塞爾問題
5 文獻

[编辑] 定義

此節給出射影模的兩種等價定義。

[编辑] 自由模的直和項

射影模最直接的刻劃是一個自由模的直和項；換言之，一個模 $P$ 是射影模，若且唯若存在另一個模 $Q$ 使得 $F := P \oplus Q$ 是自由模。此時 $P$ 是 $F$ 的一個投影態射的項。

[编辑] 提昇性質

較容易操作也較符合範疇論思想的定義是利用提昇性質。模 $P$ 是射影模，若且唯若對任何模滿射 $f: N \twoheadrightarrow M$ 及模態射 $g: P \rightarrow M$ ，存在模態射 $h: P \rightarrow N$ 使得 $f \circ h = g$ （請留意：在此不要求唯一性）。用交換圖表現則更明瞭：

image:Projective_module.png

此定義的優勢在於它可以推廣到阿貝爾範疇，從而引至射影對象的概念，在此並不需要考慮自由對象。反轉箭頭則得到對偶概念內射模。

另一種在探討Ext函子時特別有用的表述如下：模 $P$ 是射影模，若且唯若任何正合序列

$0 \longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow M'' \longrightarrow 0$

都誘導出正合序列

$0 \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M') \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M) \longrightarrow \mathrm{Hom}(P, M'') \longrightarrow 0$

換言之， $Hom(P, - )$ 是正合函子；實則對任何模 $M$ ，函子 $Hom(M, - )$ 總是左正和的，而射影性相當於右正合性。由此立刻得到射影模的同調刻劃： $P$ 是射影模若且唯若

$\forall i > 0, \; \mathrm{Ext}^i(P, -) = 0$

[编辑] 向量叢與局部自由模

射影模理論的想法之一是向量叢的類比，對於緊豪斯多夫空間上的實值連續函數環，或緊光滑流形上的光滑函數，此類比有嚴格的表述，詳閱條目Swan 定理。

向量叢是局部自由的；只要環上有合適的局部化概念，例如對環的一個積性子集局部化，則可以定義局部自由模。對於諾特環上的有限生成模，其射影性等價於局部自由性。對於非諾特環，則存有局部自由但非射影模的例子。

[编辑] 性質

射影模的直和與直和項仍是射影模。
若 $e = e^2 \in R$ ，則 $R e$ 是個射影左 $R$ -模。
射影模的子模不一定是射影模。使得所有射影左模的子模都是射影左模的環稱作左繼承的。
一個環上的全體有限生成射影模構成一個正合範疇（亦見代數K-理論）。
域或除環上的向量空間是自由模，因而是射影模。使所有模為射影模的環稱為半單環。
將阿貝爾群視為 $\mathbb{Z}$ -模；則射影模對應於自由阿貝爾群。一般而言，此性質對主理想域也成立。
射影模皆為平坦模，反之不然，例如 $\mathbb{Q}$ 是平坦 $\mathbb{Z}$ -模，但是非射影。
關於「局部自由＝射影」的想法，Kaplansky 證出如下定理：局部環上的射影模皆為自由模。有限生成射影模的情形容易證明，一般情形則較困難。

[编辑] 塞爾問題

Quillen-Suslin定理是另一個深入的結果：它斷言若 $K$ 是域或主理想域，而 $R[X_1, \ldots, X_n]$ 是其上的多項式環，則任何射影 $R$ -模都是自由模。

此問題在域的情形由塞爾首先提出。Bass 解決了非有限生成模的情形，Quillen 與 Suslin 則同時而獨立地處理有限生成模的情形。

[编辑] 文獻

Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

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