對稱矩陣

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1个分类: 矩陣

在線性代數中，對稱矩陣是一個方形矩陣，其轉置矩陣和自身相等。

$A = A^{\textrm{T}} , \,\!$

對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線（左上至右下）為軸進行對稱。若將其寫作 $A = (a i j)$ ，則︰

$a_{ij} = a_{ji} \,\!$

當 i 和 j 對等時。下列是 3×3 的對稱矩陣︰

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6\end{bmatrix}$

下列是斜對稱矩陣︰

$\begin{bmatrix} 0 & -3 & 4\\ 3 & 0 & -5\\ -4 & 5 & 0\end{bmatrix}$

[编辑] 例子

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 6 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}$

[编辑] 特性

對於任何方形矩陣 $X$ ， $X + X T$ 是對稱矩陣。
$A$ 為方形矩陣是 $A$ 為對稱矩陣的必要條件。
對角矩陣都是對稱矩陣。
兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，若且唯若兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
用<,>表示 $R n$ 上的內積。 $n \times n$ 的實矩陣 $A$ 是對稱的，若且唯若對於所有 $x,y\in\Bbb{R}^n$ ， $\langle Ax,y \rangle = \langle x, Ay\rangle$ 。
任何方形矩陣 $X$ ，如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和： $X = 1 / 2(X + X T) + 1 / 2(X - X T)$
每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
若對稱矩陣 $A$ 的每個元素均為實數， $A$ 是Hermite矩陣。
一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
如果X是對稱矩陣, 那么 $A X A T$ 也是對稱矩陣.