對角矩陣

對角矩陣是一個主對角線之外的元素皆為 0 的矩陣。對角線上的元素可以為 0 或其他值。因此 n 行 n 列的矩陣 = (d_i,j) 若符合以下的性質：

則矩陣 為對角矩陣。

[编辑] 例子

均為對角矩陣

[编辑] 矩陣運算

對角矩陣的相加及相乘都相當簡單。若以 diag(a₁,...,a_n) 表示一個對角線元素依序為a₁,...,a_n的對角矩陣。矩陣加法可用下式表示：

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

而矩陣乘法可用下式表示：

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

對角矩陣 diag(a₁,...,a_n) 為可逆 若且唯若 a₁,...,a_n 均不為零。若上述條件成立，則

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

[编辑] 特性

• 對角矩陣都是對稱矩陣。
• 對角矩陣是上三角矩陣及下三角矩陣。
• 單位矩陣I_n及零矩陣恆為對角矩陣。一維的矩陣也恆為對角矩陣。
• 一個對角線上元素皆相等的對角矩陣是純量矩陣，可表示為單位矩陣及純量λ的乘積λI。
• 一對角矩陣 diag(a₁, ..., a_n) 的特徵值為a₁, ..., a_n。而其特徵向量為單位向量 e₁, ..., e_n。
• 一對角矩陣 diag(a₁, ..., a_n) 的行列式為a₁...a_n的乘積。

[编辑] 參考

• 三角矩陣