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導函子

在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。

目录

[编辑] 動機

考慮導函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 \mathcal{A}, \mathcal{B}，及其間的加法函子 F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}。假設 F 為左正合函子，換言之，對 \mathcal{A} 中的任一短正合序列

0\to A \to B \to C \to 0

下列序列是正合的：

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)

由此自然導出一個問題：如何自然地延長此正合序列？F 的（右）導函子是一族函子 R^i F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}，滿足 R0F = F，且有相應的長正合序列：

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A) \to R^1F(B) \to R^1F(C)\to R^2F(A)\to \cdots

導函子可以視為 F 的右正合性的尺度。

[编辑] 構造與初步性質

[编辑] 右導函子

今假設 \mathcal{A} 中有充足的內射元。設 X \in \mathcal{A}，根據假設，存在內射分解：

0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots

取函子 F，得到上鏈複形：

0\to F(X) \to F(I^0)\to F(I^1) \to F(I^2) \to\cdots

定義 RiF(X) 為其第 i 個上同調群，特別是有 R0F(X) = F(X)。注意到兩點：

  • 由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子 RiF 在同構的意義下是明確定義的。
  • 若 X 是內射對象，取平凡分解 0 \to X \to X \to 0，可知當 i > 0 時有 RiF(X) = 0。

[编辑] 左導函子

左導函子的建構與右導函子對偶。設 G: \mathcal{A} \to \mathcal{B} 為右正合加法函子，並假設 \mathcal{A} 有充足的射影元。對任一對象 X \in \mathcal{A}，取一射影分解：

\cdots\to P_2\to P_1\to P_0 \to X \to 0

取函子 G，得到鏈複形：

\cdots \to G(P_2) \to G(P_1) \to G(P_0) \to 0

定義 LiG(X) 為其第 i 個同調群，其性質類似右導函子。

[编辑] 逆變函子的情形

對於逆變函子也能定義導函子，此時的導函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。

[编辑] 長正合序列

對於右導函子的情形，任一短正合序列 0 \to A \to B \to C \to 0 給出長正合序列

\cdots \to R^{i-1} F(C) \to R^i F(A) \to R^i F(B) \to R^i F(C) \to R^{i+1} F(A) \to \cdots

對於左導函子，相應的長正合序列形如

\cdots \to L^{i+1} G(C) \to L^i G(A) \to L^i G(B) \to L^i G(C) \to L^{i-1} G(C) \to \cdots

此外，這些長正合序列在下述意義下是「自然」的：

  • 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
  • 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。

這些性質是蛇引理的推論。

[编辑] 應用

  • 層上同調：對拓撲空間 X，考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇，它有充足的內射元。整體截面函子 \mathcal{F} \mapsto \Gamma(X,\mathcal{F}) 是左正合函子，相應的右導函子即層上同調函子 \mathcal{F} \mapsto H^i(X, \mathcal{F})。
  • 平展上同調：平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
  • Ext函子：設 R 為環，考慮 R-模範疇，它有充足的內射元及射影元。對任一 R-模 A，函子 HomR(A, − ) 為左正合的，其右導函子記為 B \mapsto \mathrm{Ext}^i_R(A,B)。
  • Tor函子：同樣考慮 R-模範疇，對任一 R-模 B，函子 - \otimes_R B 為右正合的，其左導函子記為 A \mapsto \mathrm{Tor}_i^R(A,B)。
  • 群上同調：設 G 為群。所謂 G-模是指被 G 作用的阿貝爾群，G-模範疇可以理解為 \Z G-模範疇。對任一 G-模 M，定義 M^G := \{ m \in M : \forall g \in G, \; g \cdot m = m \}，這是一個左正合函子，其右導函子即群上同調函子 M \mapsto H^i(G, M)。

[编辑] 推廣

現代的導範疇理論為導函子提供了一套較廣的框架。

[编辑] 文獻

  • Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1
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