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局部化

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在抽象代數中，局部化是一種在環中形式地添加某些元素的倒數，藉以建構分式的技術；由此可透過張量積構造模的局部化。範疇的局部化過程類似，但此時加入的是態射之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為同構。

局部化在環論與代數幾何中佔有根本地位，範疇的局部化則引出導範疇的概念，在高等數學中有眾多應用。

目录

[编辑] 幾何詮釋

「局部化」一詞源出代數幾何。設 R 是一個仿射代數簇 X 的座標環（也就是 X 上的多項式函數），則 R 對其元素 f 的局部化的意義是將 V(f) := \{ x \in X : f(x) = 0 \} 從 X 中挖掉，得到的環 Rf 正是 X − V(f) 的座標環；若對極大理想 \mathfrak{m}_x := \{ f \in R : f(x)=0 \} 作局部化，則可以設想為挖去所有的 V(f) \quad (f(x) \neq 0)；得到的環 R_{\mathfrak{m}_x} 體現 X 上的多項式函數在 x 點的局部性質。

藉著將模理解為仿射代數簇上的擬凝聚層，可以類似地詮釋模的局部化；它無非是擬凝聚層在一個點的莖。

[编辑] 環的局部化

在此僅考慮含單位元的環。設 R 為環，S 為 R的積性子集（定義：對乘法封閉，並包含單位元素的集合）。以下將探討 R 對 S 之局部化。

[编辑] 泛性質

R 對 S 的局部化如果存在，是一個環 S − 1R（或記作 R[S − 1]）配上環同態 R \rightarrow S^{-1}R，使之滿足以下的泛性質：

對任何環 T 及環同態 \phi: R \rightarrow T，若 S 的元素在 φ 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 \psi: S^{-1}R \rightarrow T，使得 φ 是 R \rightarrow S^{-1}R 與 ψ 的合成。

此性質可保證局部化 (S^{-1}R, R \rightarrow S^{-1}R) 的唯一性。

[编辑] 交換環的情形

當交換環 R 為整環時，局部化的構造相當容易。若 0 \in S，則 S − 1R 必然是零環；若不然，我們可以在 R 的分式環 K 中構造局部化：取 S^{-1}R \subset K 為形如 \frac{r}{s} \quad (r \in R, s \in S) 的元素即可。

對於一般的交換環，我們必須推廣分式環的構造；在此須注意到：由於 S 中可能有零因子，我們不能魯莽地通分一個分式。構造方式如下：

在集合 R \times S 上定義下述等價關係 ˜：

(r,s) \sim (r',s') \iff 存在 t \in S 使得 t(rs' − r's) = 0

等價類 [r,s] 可以想成「分式」 r / s，藉此類比，在商集 (R \times S)/\sim 上定義加法與乘法為：

[r,s] + [r',s'] = [rs' + r's,ss']
[r,s][r',s'] = [rr',ss']

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 R \rightarrow (R \times S)/\sim，定義為 r \mapsto [r,1]。於是可定義 S^{-1}R := (R \times S)/\sim，再 配上上述環運算與同態。在實踐上，我們常逕將 S − 1R 裡的元素寫作分式 r / s。

交換代數與代數幾何中經常考慮兩種局部化：

  • 固定 f \in R，取 S := \{ f^n : n \geq 0 \}。在交換環譜中，對這類 S 的局部化構成 Spec(R) 的基本開集（Spec(R) 表 R 的所有素理想構成的集合）。這種局部化常記作 Rf。
  • 固定素理想 \mathfrak{p} \subset R，取 S := R - \mathfrak{p}，此時也稱作對素理想 \mathfrak{p} 的局部化。這種局部化常記作 R_\mathfrak{p}。

以下是 S − 1R 的一些環論性質。

  • S − 1R = (0) 若且唯若 0 \in S。
  • 環同態 R \rightarrow S^{-1}R 是單射，若且唯若 S 中不含零因子。
  • 同態 R \rightarrow S^{-1}R 下的逆像給出下列一一對應：
\mathrm{Spec}(S^{-1}R) = \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) : \mathfrak{p} \cap S = \emptyset \}
一個重要的特例是取 S = R - \mathfrak{p}，可知 R_\mathfrak{p} 中的素理想一一對應至 R 中包含於 \mathfrak{p} 的素理想，因此 R_\mathfrak{p} 是局部環。

[编辑] 非交換環的情形

非交換環的局部化較困難，並非對所有積性子集 S 都有局部化。充分條件之一是歐爾條件，請參閱條目歐爾定理。

其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子 D 抽象地添加逆算子 D − 1；微局部分析中運用了這類構造。

[编辑] 模的局部化

設 R 為含單位元的交換環，S 是積性子集，而 M 是個 R-模。模的局部化與交換環類似，寫作 S − 1M 或 M[S − 1]。我們依然要求存在模同態 M \rightarrow S^{-1}M 及以下的泛性質（此泛性質蘊含唯一性）：

對任何 S − 1R-模 N 及 R-模同態 \phi: M \rightarrow N，存在唯一的 S − 1R-模同態 \psi: S^{-1}M \rightarrow N，使得 φ 是 M \rightarrow S^{-1}M 與 ψ 的合成。

事實上，可以用張量積構造模的局部化：

S^{-1}M := M \otimes_R S^{-1}R

這是一個正合函子，它將單射映為單射。亦即：S − 1R 是平坦的 R-模。利用張量積與環的局部化的泛性質，可以形式地導出上述構造確實滿足局部化的要求。

此外，也可以仿造交換環的局部化，用分式 \{ m/s : m \in M, s \in S \} 直接構造 S − 1M，分式間的等價與代數運算類似交換環的情形。

[编辑] 範疇的局部化

範疇的局部化的意義在將一族態射之逆態射加入範疇中，使得這些態射成為同構。這在形式上近於環的局部化，也能使先前不同構的對象在局部化後變為同構。例如，在同倫理論中有許多連續映射在同倫的意義下可逆，藉著將這些映射局部化，同倫等價的空間可被視為彼此同構。局部化範疇裡的操作也稱作分式運算，相關技術細節請見文獻中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

[编辑] 一些例子

  1. 塞爾提議在模掉某類阿貝爾群 \mathcal{C} 的同倫範疇裡操作，這意謂若群 A,B 滿足 A/B \in \mathcal{C}，則視之為同構的。稍後 Dennis Sullivan 引進一個大膽的想法：改在空間的局部化裡操作。如此將影響底層的拓撲空間。
  2. 設 R 的Krull維度至少是 2，此時若兩個 R-模 M \supset N 滿足 M / N 的支撐集的餘維至少是 2，則可視之為偽同構的。岩澤理論大大利用了這個想法。
  3. 在同調代數中，我們藉著加入擬同構之逆而得到導範疇。
  4. 在阿貝爾簇的理論中，我們常等同兩個同源的阿貝爾簇，並將同源映射視為同構。此「至多差一個同源」的範疇是局部化較簡單的例子，實質上不外是將 Hom(X,Y) 代以 \mathrm{Hom}(X,Y) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}。

[编辑] 集合論的問題

一般而言，給定一個範疇 \mathcal{C} 及一族態射 w，在探討是否能構造局部化 w^{-1}\mathcal{C} 時會遇到以下問題：當 \mathcal{C} 是小範疇或 w 是集合時已知可構造局部化，但一般來說則是個棘手的集合論問題；局部化的典型構造可能會造成兩對象間的態射「太多」，換言之可能是個真類。發展模型範疇的動機之一正是要避免這類問題。

[编辑] 文獻

  • P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
  • Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1
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