局部域

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在數學上，局部域是一類特別的域，它有非平凡的絕對值，此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類：一種是絕對值滿足阿基米德性質的局部域（稱作阿基米德局部域），另一種則是絕對值不滿足阿基米德性質的局部域（稱作非阿基米德局部域）。在數論中，數域的完備化給出局部域的典型例子。

[编辑] 非阿基米德局部域

設 F 為非阿基米德局部域，而 為其絕對值。關鍵在下述對象：

• 閉單位球：，或其整數環 ，這是個緊集。
• 整數環裡的單位元素：
• 開單位球：，這同時是其整數環裡唯一的極大理想，也記作 。

上述對象與賦值環的構造相呼應；事實上，可證明必存在實數 0 < c < 1 及離散賦值 ，使得

.

可取唯一的 c 使得 v 為滿射，稱之為正規化賦值。

從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義：一個域 F，帶離散賦值 ，使得F成為完備的拓撲域，而且剩餘域有限。

這類局部域的行為可由局部類域論描述。

[编辑] 分類

局部域的完整分類如次：

• 。這些是阿基米德局部域。
• p進數域 的有限擴張。這些是特徵為零的非阿基米德局部域。
• 的有限擴張（其中表有 q 個元素的有限域）。這些是特徵非零的非阿基米德局部域。

[编辑] 文獻

• Milne, James, Algebraic Number Theory.
• Serre, Jean-Pierre (1968). Corps locaux. Hermann.