集合

本文講述的是的元素是數學上的元素。關於化學元素，詳見「元素」。

集合（或簡稱集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。最簡單的說法，即是在最原始的集合論─樸素集合論─中的定義，集合就是“一堆東西”。集合裡的“東西”，叫作元素。若然 x 是集合 A 的元素，記作 x ∈ A。

集合是现代数学中一个重要的基本概念。集合论的基本理论直到十九世纪末才被创立，现在已经是数学教育中一个普遍存在的部分，在小学时就开始学习了。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍；更详细的分析可见朴素集合论。对集合进行严格的公理推导可见公理化集合论。

[编辑] 导言

非正式的，一个集合就是将几个对象适当归类而作为一个整体。集合中的对象称作元素或成员。集合中的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。集合通常表示为大写字母 A， B， C，等等。两个集合 A 和 B 相等，写作 A = B，如果它们有相同的元素。

[编辑] 集合的特点

• 无序性

在同一个集合里面的每一个元素的地位都是相同的，所以元素的排列是没有顺序的。

• 互异性

在同一个集合里面每一个元素之能出现一次，不能重复出现。

• 确定性

定制集合的标准是确定的而不是含糊的，如全国全体较高的男生，这里的较高没有标准是含糊的。

[编辑] 集合的表示

• 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：

A = 大于零的前三个自然数

B = 红色、白色、蓝色和绿色

• 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：

C = {1, 2, 3}

D = {红色，白色，蓝色，绿色}

尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，A = C 而 B = D，因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 {2, 4}，{4, 2} 和 {2, 2, 4, 2} 是相同的，同样因为它们有相同的元素。

• 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

[编辑] 集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素，而集合 B 有四个。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用符号 表示。比如：在2004年，集合 A 是所有住在月球上的人，它没有元素，则 A = 。就像数字零，看上去微不足道，而在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。

如果集合含有有限个元素，那么这个集合可以称为有限集。

集合也可以有无穷多个元素。比如：自然数的集合是无穷大的。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的势。

[编辑] 子集

如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆ B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，写作 A ⊂ B。

B 的子集 A

举例：

• 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
• 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

空集是所有集合的子集，而所有集合都是其本身的子集：

• ⊆ A
• A ⊆ A

更多信息，请见子集。

[编辑] 并集

有多种方法通过现有集合来构造新的集合。

两个集合可以相"加"。A 和 B 的并集（聯集），写作 A ∪ B，是或属于 A 的、或属于 B 的所有元素组成的集合。

A 和 B 的并集

举例：

• {1, 2} ∪ {红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色}
• {1, 2, 绿色} ∪ {红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色}
• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

并集的一些基本性质

• A ∪ B   =   B ∪ A
• A  ⊆  A ∪ B
• A ∪ A   =  A
• A ∪    =  A

更多信息，请见并集.

[编辑] 交集

一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。A 和 B 的交集，写作 A ∩ B，是既属于 A 的、又属于 B 的所有元素组成的集合。

若 A ∩ B  =  ，则 A 和 B 称作不相交。

A 和 B 的交集

举例：

• {1, 2} ∩ {红色, 白色} =
• {1, 2, 绿色} ∩ {红色, 白色, 绿色} = {绿色}
• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

交集的一些基本性质

• A ∩ B   =   B ∩ A
• A ∩ B   ⊆   A
• A ∩ A   =   A
• A ∩    =   

更多信息，请见交集。

[编辑] 补集

两个集合也可以相"减"。A 在 B 中的相对补集，写作 B − A，是属于 B 的、但不属于 A 的所有元素组成的集合。

在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U 的子集。这样， U − A 称作 A 的绝对补集，或简称补集（餘集），写作 A′。

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

举例：

• {1, 2} − {红色, 白色} = {1, 2}
• {1, 2, 绿色} − {红色, 白色, 绿色} = {1, 2}
• {1, 2} − {1, 2} =
• 若 U 是整数集，则奇数的补集是偶数

补集的基本性质：

• A ∪ A′ = U
• A ∩ A′ =
• (A′)′ = A
• A − B = A ∩ B′

更多信息，请见补集。

[编辑] 對稱差

見對稱差。

[编辑] 集合的其它名稱

在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：

• 族、系　通常指它的元素也是一些集合。

[编辑] 公理集合論

把集合看作“一堆東西”會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

[编辑] 類

在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算是并不都能进行的。

定义 类A如果满足条件“”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为Set(A)。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

[编辑] 参见

• 公理化数学
• 类的理论
• 罗素公理体系
• 集合代数nov:Ensemble