幂级数

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幂级数是一类简单而常见的常数项级数，它的各项都是幂函数的函数项。

[编辑] 形式

幂级数的形式为：

$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$ ，

其中常数a₀，a₁，a₂，…叫做幂级数的系数。

收敛半径r 可以表示为：

$r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$

或者：

$r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}$

$(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)+(b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+\cdots+(a_n+b_n)x^n$

如果：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n$

那么：

$f(x)- g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n - b_n) (x-c)^n$

$f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)$

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}$

$= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.$

${f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n$

$f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)$