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平移

平移將物件的每一點向同一方向移動相同距離。
平移將物件的每一點向同一方向移動相同距離。
在针对一个轴的反射之后的针对另一个平行于前一个轴的轴的反射导致是平移的总和运动。
在针对一个轴的反射之后的针对另一个平行于前一个轴的轴的反射导致是平移的总和运动。

在歐幾里德幾何，平移是將物件的每點向同一方向移動相同距離。

它是等距同構，是歐幾里德空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若\mathbf{v}是一個已知的向量，\mathbf{p}是空間中一點的位置向量，平移T_{\mathbf{v}}\mathbf{p}=\mathbf{p}+\mathbf{v}。

將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即T_{\mathbf{v}}(T_{\mathbf{u}}(\mathbf{p}))=T_{\mathbf{v}+\mathbf{u}}(\mathbf{p})，因此所有平移的集是一個群，稱為平移群。這個群和空間同構，又是歐幾里德群E(n)的正則子群。

T對E的商群與正交群O(n)同構：E(n) / T = O(n)。

[编辑] 矩陣表示

例如在三維空間，使用齐次坐标，T_{\mathbf{v}}可用矩陣表示為

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}。

平移的結果T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})就是：

T_{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \\ 0 & 1 & 0 & v_y \\ 0 & 0 & 1 & v_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}。

平移的逆矩陣：T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}}。兩個平移矩陣的積就是兩次平移的結果：T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} = T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}}。因為向量加法符合交換律，所以平移群不像一般矩陣乘法，平移矩陣乘法是可交換的。

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