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泡利方程

量子物理
\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
量子力學

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泡利方程是描述自旋-1/2粒子隨著時間演化的薛定谔方程，自旋-1/2粒子例如電子。其為狄拉克方程在非相對論性極限下的特例，可用在粒子慢到相對論效應可以忽略的場合。

泡利方程是由沃爾夫岡·泡利所建構。

[编辑] 細節

時間相依的線性泡利方程：

(\vec{\sigma}\cdot \vec{p} - c)|\psi\rangle=0

其中

\vec{p}為動量，
c為光速，
\vec{\sigma}為泡利矩陣，
|\psi\rangle := \begin{pmatrix} |\psi_+\rangle \\ |\psi_-\rangle \end{pmatrix}為泡利旋量。

兩個旋量分量都滿足薛定谔方程(Schrödinger equation)。這表示系統是有額外但簡併的的自由度。

若有外加的電磁場，完整泡利方程寫為：

\underbrace{i \hbar \partial_t \vec \varphi_\pm = \left( \frac{(\underline{\vec pq \cdot \vec A)^2}{2 m} + q \phi \right) \hat 1 \vec \varphi_\pm}_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\vec{\hat \sigma} \cdot \vec B \vec \varphi_\pm}_\text{Stern Gerlach term}}-

其中

φ為标量電場勢，
A為矢量勢，
\vec \varphi_\pm為泡利旋量，以狄拉克標記可表示為|\psi\rangle :=\begin{pmatrix} |\varphi_+\rangle \\ |\varphi_-\rangle \end{pmatrix}，
\vec{\hat \sigma}為泡利矩陣
\vec B為外加磁場
\hat 1為二維單位矩陣

有了斯特恩-革拉赫項(Stern Gerlach term)，則可能可以理解帶有一個價電子的原子何以得到得到自旋取向，例如流過不均勻磁場的銀原子。

相似地，比如在異常季曼效應(Zeeman effect)，這一項造成磁場中的譜線（對應到能階）分裂。

[编辑] 推導泡利方程

自狄拉克方程開始，設定弱的電磁場相互作用：

i \hbar \partial_t \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) = c \left( \begin{array}{c} \vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_2\\\vec{\hat \sigma} \vec \pi \vec \varphi_1\end{array} \right)+q \phi \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1\\\vec \varphi_2\end{array} \right) + mc^2 \left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\-\vec \varphi_2\end{array} \right)

其中\vec \pi = \vec p - q \vec A

利用到如下近似：

  • 透過如下前提(ansatz)對方程做簡化
\left( \begin{array}{c} \vec \varphi_1 \\ \vec \varphi_2 \end{array} \right) = e^{-i \frac{mc^2t}{\hbar}} \left( \begin{array}{c} \vec{\tilde \varphi_1} \\ \vec{\tilde \varphi_2} \end{array} \right)
  • 透過緩慢時間相依性的前提去除掉靜能量
\partial_t \vec \varphi_i \ll \frac{mc^2}{\hbar} \vec \varphi_i
q \phi \ll mc^2



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