張量範疇

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2个分类: 数学 | 范畴论

一張量範疇(tensor category),或曰么半範疇 (monoidal category)，直覺地講, 是個配上張量積的阿貝爾範疇(abelian category), 可當作環的範疇化.

[编辑] 定義

數學中中,一個張量範疇(tensor category) (或稱幺半範疇'(monoidal category)) 是一個包含單一個對象的雙範疇?(bicategory) . 更具體的描述: 一個張量範疇 是

一個範疇 $\mathbb C$ ;
被賦予張量積，即一枚二元函子

$\otimes: \mathbb C\times\mathbb C\to\mathbb C$ ;

被賦予一個單位對象 $I$ ;
被賦予三組自然同構映射:
- 結合律 $α$ : $\alpha_{A,B,C}: (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes(B\otimes C)$ ;
- 左/右單位映射: 自然同構映射 $λ$ , $ρ$ :

$\lambda_A: I\otimes A\to A$ ,

$\rho_A: A\otimes I\to A$ ;

滿足以下相容條件:

每

A

B

C

D

$\in$ $\mathbb C$ ,

和

都交換.///

在這以上兩道相容條件下, 任何以結合律,左右單位和張量積組成的圖都交換, 因為 Mac Lane凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem): 每個幺半範疇都幺半等價(monoidally equivalent) 於一嚴格幺半範疇（見下）.

[编辑] 嚴格幺半範疇

嚴格(?)幺半範疇(strict monoidal category) 是個幺半範疇，其自然態射 $α$ , $λ$ 和 $ρ$ 都是恆等影射.

取任一範疇 $\mathbb C$ , 吾人可構築其 自由嚴格幺半範疇 $\Sigma(\mathbb C)$ :

對象：其每一對象是一串由 $\mathbb C$ 裡面的對象組成之有限序列 $(A_1,\ldots, A_n$ )；
態射：當且僅當 $n = m$ 時，吾人在二個對象 $(A_1,\ldots, A_n)$ 和 $(B_1,\ldots, B_m)$ 之間定義態射:每 $\Sigma(\mathbb C)$ -態射是一串由 $\mathbb C$ -態射組成的有限序列 $(f_1:A_1\to B_1, \ldots, f_n:A_n\to B_n)$ ；
張量積：二個 $\Sigma(\mathbb C)$ -對象 $(A_1,\ldots, A_n)$ 及 $(B_1,\ldots, B_m)$ 之張量積，吾人定義為此二有限序列之串接(concatenation) $(A_1,\ldots, A_n, B_1,\ldots, B_m)$ ；同樣地任何二 $\Sigma(\mathbb C)$ -態射之張量積，吾人定義為其串接。

按：此算符 $Σ$ ，向由任一範疇 $\mathbb C$ 配上 $\Sigma(\mathbb C)$ ，可推廣到 $\textbf{Cat}$ 上的嚴格-2-單子 (en:strict 2-monad) 。

[编辑] 例

取任一範疇，若以其平常範疇積作張量積, 以其終對象作單位對象，則成為一個張量範疇。亦可取任一範疇，以其餘積(co-product)作張量積，以其始對象作單位對象，亦成一個張量範疇。（此二例實為對稱么半範疇結構。）但亦有許多張量範疇 (例如 $R$ -Mod，如下)，其張量積既非範疇積亦非範疇餘積。

以下舉張量範疇二例——向量空間範疇和集合範疇——並表明其類比：

$R$ -Mod	Set
取任一域或交換環 $R$ , 各 $R$ -模所成之範疇 $R$ -模 (若R 為一域，則 R-模即 R－向量空間) 是一對稱么半範疇；其張量積 ⊗ 與單位對象為： $R$ .	範疇集為一對稱么半範疇賦有張量積 × 與單位對象 {*}.
單元結合代數為 $R$ -模之一對象，賦上態射 $\nabla:A\otimes A\rightarrow A$ 與 $\eta: R \rightarrow A$ 並滿足以下條件:	A 么半群為一對象 M ，配上態射 $\circ: M \times M \rightarrow M$ 與 $1: \{*\} \rightarrow M$ 並滿足

and	與
.	.
A 餘代數(coalgebra) 是一個對象 C ，被賦予態射 $\Delta: C \rightarrow C \otimes C$ 和 $\epsilon:C\rightarrow R$ 並滿足以下條件:	集內每一對象（即每一集合）S，都被賦予態射 $\Delta: S \rightarrow S \times S$ 和 $\epsilon: S \rightarrow \{*\}$ 滿足以下條件:

and	and
.	.
	此 ε 是唯一的，因為 ${ * }$ （即一元集合）是個終對象.

[编辑] 相關的結構

很多張量範疇更進一步有辮, 交換態射 or 封閉等结構. 詳見下述參考。
么半函子 (en:monoidal functor)為二張量範疇（么半範疇）間、保存張量積結構之函子；么半態射為二么半函子間之態射（自然變換 (natural transformations)）。
一般么半群之概念可推廣成么半範疇中的么半對象(en:monoid object)。尤其者，可視一嚴格么半範疇作範疇之「範疇」 Cat中的么半對象（並以卡氏積為么半結構）。
上有界交半格構成一嚴格對稱么半範疇：其積為交，而單位元則為頂。

[编辑] 應用

么半範疇被用以定義直覺主義線性邏輯的積性部分模型。它們也是凝態物理中拓撲序的數學基礎。

張量範疇是二維保角場論和拓撲量子場論之代數框架.

[编辑] 參考

Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
Baez, John, Definitions
: <<Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works

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