循環群

在群論裡，循環群是指一能由單個元素產生出來的群，亦即存在一群內的元素g'(此元素稱為此群的產生子)，能使得群內的每個元素均為g的次方倍，當其以乘法寫出時(為g的倍數若當其以加法寫出時)。

[编辑] 定義

G為循環群，若存在一G內的元素g，使得G = <g> = { gⁿ ∀n }。每個由群內的一元素所生成的群均為此群的子群。当群G內含有g的唯一子群為G時，即可證明G是循環的。

例如，若G = { e, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ }, 則G為循環的，且G明確相同(即同構於)具以6為模之加法的{0,1,2,3,4,5}群。

對於每一個正整數都存在唯一一個其目為此正整數相同之循環群(到同構)，且存在一唯一一個無限的循環群(加法下的整數)。因此，循環群是最簡單的群，且被完全地分類出來。

不同於此名稱所假定的，產生無限多的元素且不形成任何文意上所謂的循環是可能的，亦即其中每個gⁿ都可以是不同的。由此方式產生出來的群稱為無限循環群，且每一個無限循環群都為同構於整數Z的加法群。

因為這種群為阿貝爾群，它的运算常常會以加法寫出，且被標記為Z_n；但數論學家一般會避免使用這種標記，因為其和於一素理想中之p進數環或局部化一般的標記相衝突且易被搞混。商群的標記法Z/nZ為其標記的另一種選擇。

亦有以乘法寫出，且標記為C_n的。(如在C₅中的g³g⁴ = g²，和在Z/5Z中的3 + 4 = 2 (mod 5)，這兩個不同的標記都是指同一個群的同一個運算(到同構)。)

所有的有限循環群皆為週期群。

[编辑] 性質

每一個循環群都同構於以n為模之加法下的{0,1,2,...,n'−1}群或全部整數的加法群Z。因此，要了解循環群的一般性質只需要看這些群有什麼性質就可以了。所以，循環群是最容易去學習的群且有許多的良好性質。給定一為n(n可能是無限的)目的循環群G，且對於每一於G內的g，

• G為交換群。這是因為g + h mod n = h + g mod n。
• 若n為有限的，則gⁿ = e，因為 n mod n = 0。
• 若n為無限的，則存在剛好兩個生成元，對整個Z而言，被稱為1及−1，且其他以同構映射至此循環群的均會是無限循環群。
• 若n為有限的，則存在著恰好φ(n)個產生子，其中φ為歐拉函數。
• G的每一個子群都是循環群。且確實地，每一個G的有限子群皆為以m為模之加法的{0,1,2,3,...,m−1}群。而每一個G的無限子群則為mZ，其會雙射(故同構)於Z。
• C_n同構於Z/nZ(Z在nZ上的商群)，因為Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ..., n − 1 + nZ} 以n為模之加法的{ 0, 1, 2, 3, 4, ..., n − 1}。

Z/nZ的生成元為和n互質的整數之同餘類；其產生子的數目被稱為φ(n)，其中φ為歐拉函數。

更一般地，若d為n的因數，則在Z/nZ內有d目之元素數目為φ(d)。同餘類m的目為n / gcd(n,m)。

若p為一質數，則唯一擁有p個元素的群(上至同構)會是循環群Z_p。

Z_n和Z_m兩個循環群的直積是循環的若且唯若n和m是互質的。故如Z₁₂會是Z₃和Z₄的直積，而不會是Z₆和Z₂的直積。

由定義直接可知，循環群有一其型式為< x | xⁿ >之非常簡單的展現。

|阿貝爾群的基本定理敘述著每一個有限產生阿貝爾群都是有限多個循環群的直積。

Z_n和Z都是可交換環。若p為一質數，則Z_p為一有限體，且亦可標記為F_p或GF(p)。其他每一個具有p個元素的體都會同構於此一有限體。

環Z_n的可逆元為和n互質的數。它們形成一個整數同餘n的乘法群；其會有φ(n)個元素，寫做Z_n^×。

例如，當n=6時可得出Z_n^× = {1,5}，而當n=8時則可得出Z_n^× = {1,3,5,7}。

實際上，已知Z_n^×為循環的若且唯若n為2或4或p^k或2 p^k，其中p為一奇質數及k≥1。這裡，Z_n^×的每個生成元被稱為模n的原根。

因此，Z_n^×在n=6時是循環的，但在n=8時則不是，而轉而會同構於克萊因四元群。

對於每個質數p，群Z_p^×為具有p-1個元素的循環群。更一般性地，任一體中的乘法群之有限子群是循環的。

[编辑] 例子

在二維和三維裡，n折旋轉對稱的對稱群為C_n，屬Z_n抽象群類型。在三維裡，亦存在其他代數地相同的對稱群，詳見三維點群。

需留意的是，圓的所有旋轉所組成之群S¹(圓群)不是循環的，當其甚至不是可數的時。

n次單位根會形成一個在乘法下之n目循環群，亦即其中的si = e2πi / 3之0 = z³ − 1 = (z − s⁰)(z − s¹)(z − s²)及在乘法之下的{s⁰,s¹,s²}群為循環的。

每一個有限體之有限體擴張的伽羅瓦群是有限且循環的；相反地，給定一有限體F和一有限循環群G，則存在一個F的有限體擴張，其伽羅瓦群為G。

[编辑] 表示

有限循環群的環圖全是有著其元素在各個角上的n邊形。下面環圖中的黑角表示是單位元素，而其他的角則為群的其他元素。一個環包括著連接著單位元之元素的接續之次方。

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8

[编辑] 子群

所有循環群的子群及商群都是循環的。特別地是，Z的子群為mZ的形式，其中m為大於0的整數。其所有的子群都是不同的，且除了當然群(m=0)外都會同構於Z。Z的子群格同構於以可除性排序之自然數格的對偶。所有Z的商群都是有限的，除了一個當然的例外Z/{0}之外。對每個n的正因數d，群Z/nZ恰好有一個d目的子群，其由n/d的剩餘類所產生。其不存在著其他的子群。故其子群格會同構於以可除性排序之n的因數所組成的集合。

其中有一個很特別的：一個循環群是簡單的若且唯若其目(元素數目)為質數。

舉一個實際的問題，給定一個n目之有限子群C，其產生子為g，並要求求得以某一整數k之g^k所產生的子群之大小m。這裡，m會是能使mk能被n整除之最小正整數。因此其為n/g，其中g為k和n的最大公因數。換句話說，由g^k產生之子群之指標為g。其理由在數論中被稱為指標計算演算法之中。

[编辑] 自同態

阿貝爾群Z_n的自同態環會同構於此阿貝爾群，且使其構成一個環。在此同構之下，數字r會對應於將每個元素映射至其n次乘積之值上之Z_n的自同態。此一自同態只有在r和n互質時會是個雙射函數，所以Z_n的自同構群會同構於群Z_n^×(見上面)。Z_n的自同構群有時會被稱為Z_n的特徵群，且此一群的建構會直接導致對狄利克雷特徵的定義。

相似地，加法群Z的自同態環會同構於環Z，且其自同構群會同構於環Z的單位群，即{−1, +1} Z₂。

[编辑] 另見

• 三維循環對稱群
• 循環擴張
• 循環模
• 同餘